Effet Papillon et Théorie du Chaos

0:00 Bonjour à tous, aujourd'hui on va parler du chaos.

0:03 Quand on entend ce mot dans le langage courant,

0:05 le chaos, ça signifie en gros que c'est le bordel.

0:07 Mais en mathématiques, ce terme a un sens plus spécifique

0:10 qui fait notamment référence à cet effet devenu une expression courante,

0:14 l'effet papillon.

0:21 La théorie du chaos fait partie de cette branche des mathématiques

0:24 qu'on appelle l'étude des systèmes dynamiques.

0:26 Petit point de vocabulaire, un système dynamique,

0:28 ça désigne en gros un truc qui évolue dans le temps.

0:32 On a plein de systèmes dynamiques, en physique,

0:34 qu'il s'agisse du mouvement des planètes,

0:35 de la trajectoire des boulets de canon,

0:37 ou bien des oscillations d'un pendule.

0:39 Mais on en a aussi en chimie, quand on suit le déroulement des réactions,

0:43 en biologie, avec l'évolution des populations,

0:45 en électronique, en économie, etc.

0:47 Ce que les mathématiciens aiment bien faire pour étudier un système dynamique,

0:50 c'est d'en prendre une version un peu idéalisée,

0:53 décrite à partir d'une équation d'évolution.

0:55 Prenons l'exemple du pendule, il existe une équation,

0:57 je ne vais pas vous la détailler,

0:59 qui permet de calculer la trajectoire d'un pendule

1:01 et d'en faire une simulation.

1:03 Ça se fait très bien avec un ordinateur,

1:04 on se fixe un point de départ, ici un angle, disons 80°,

1:08 et on regarde comment le pendule évolue à partir de là,

1:10 en appliquant l'équation d'évolution.

1:14 Dans les systèmes de ce type, ce qui est important,

1:16 c'est qu'ils sont déterministes.

1:18 Il n'y a pas de hasard qui interviennent,

1:19 et on peut simuler leur évolution sans aucune ambiguïté.

1:22 Si je relance le calcul de la trajectoire du pendule,

1:25 je vais obtenir exactement le même résultat.

1:28 L'autre caractéristique importante,

1:29 c'est que même si on ne connaît pas super précisément

1:31 la position de départ, ce n'est pas bien grave.

1:34 Si je lance le pendule avec un angle de 81° au lieu de 80°,

1:38 ça ne va pas dramatiquement changer le résultat,

1:40 comme vous pouvez le voir.

1:41 Pareil avec la trajectoire d'un boulet de canon,

1:43 si je fais deux simulations en variant l'angle initial de 1°,

1:47 les deux ne vont pas tomber hyper loin l'un de l'autre.

1:50 Dans la science telle qu'elle se pratique depuis Newton,

1:52 il y a cette idée que, bien sûr,

1:54 les mêmes causes provoquent les mêmes effets.

1:56 Ça, c'est le déterminisme.

1:57 Mais aussi que des causes similaires vont provoquer des effets similaires.

2:02 Et du coup, si on se trompe un tout petit peu au départ,

2:04 ça a des conséquences qui sont limitées.

2:06 Et quelque part, c'est un peu la base de la méthode scientifique.

2:08 Dans une expérience, on n'arrive jamais à tout décrire de façon parfaite.

2:12 Mais on sait qu'on peut négliger tout un tas de petits trucs

2:15 sans que ça change fondamentalement le résultat final.

2:17 Et pourtant, vous connaissez peut-être des situations

2:19 où cette idée marche assez mal.

2:21 Tenez, en jouant au billard,

2:22 si vous essayez de faire, disons, plus de 3 ou 4 bandes,

2:25 vous savez peut-être que le moindre changement sur l'angle initial

2:28 peut vous amener dans un coin complètement différent

2:30 de ce que vous aviez prévu.

2:32 Il existe un système physique qui représente bien cette idée.

2:35 C'est le double pendule.

2:36 Un double pendule, c'est simplement un pendule au bout d'un pendule.

2:40 Si vous voulez en voir un,

2:41 je vous renvoie à la vidéo de Dr Nozman sur le sujet.

2:43 Moi, je n'en ai pas, alors je vais juste en faire une simulation.

2:46 Les équations qui décrivent l'évolution d'un double pendule

2:49 sont un peu plus compliquées que celles d'un pendule simple.

2:52 Mais avec un ordinateur, bon, il n'y a pas de problème.

2:54 Et regardez le genre de trajectoire qu'on obtient.

2:58 L'évolution du double pendule n'est pas du tout régulière.

3:00 Elle est plutôt erratique et semble franchement imprédictible.

3:04 C'est très différent du pendule simple.

3:07 Et surtout, regardons ce qui se passe avec deux doubles pendules lancées

3:10 avec juste une minuscule différence sur l'état initial.

3:13 Ici, il y a un écart de seulement 1°

3:15 entre la position initiale du pendule bleu et celle du pendule orange.

3:18 Et c'est parti.

3:19 Vous voyez qu'au début, les deux mouvements sont similaires,

3:22 mais qu'en quelques secondes,

3:23 ils se séparent et deviennent complètement différents.

3:25 Contrairement à un pendule simple,

3:26 l'évolution d'un double pendule est extrêmement dépendante

3:29 de sa condition initiale, les valeurs exactes des angles.

3:32 Et c'est cette sensibilité aux conditions initiales

3:34 qui fait qu'un double pendule est un système chaotique

3:37 et donc imprévisible.

3:38 Si on avait un vrai double pendule

3:40 et qu'on voulait calculer à l'avance son évolution en faisant une simulation,

3:43 il faudrait mesurer son point de départ avec une précision fabuleuse

3:47 puisque la moindre variation changerait complètement le résultat.

3:50 Ce phénomène de petite variation au départ

3:52 ayant des conséquences importantes à terme,

3:54 c'est ce qu'on appelle aujourd'hui l'effet papillon.

4:00 L'histoire de l'effet papillon ne nous vient pas du double pendule,

4:02 mais de la météo.

4:04 La météo, c'est aussi un système dynamique,

4:06 un truc qui évolue dans le temps et assez agaçant au premier abord

4:09 puisque, comme chacun sait,

4:10 on n'arrive pas à prédire correctement le temps qu'il va faire

4:13 avec plus de quelques jours d'avance.

4:15 C'est quand même assez frustrant,

4:16 surtout quand on compare ça avec d'autres phénomènes naturels

4:19 comme les marées qu'on prédit sans problème pour toute l'année

4:22 ou encore les éclipses qu'on sait prédire à la minute près plusieurs siècles en avance.

4:27 On pourrait penser que c'est parce que pour la météo,

4:29 il y a trop de choses à prendre en compte.

4:31 La température, la pression, la vitesse du vent,

4:33 et ça en chaque point de l'atmosphère terrestre.

4:36 Ça peut faire potentiellement des millions de paramètres à considérer.

4:39 Pour mieux comprendre ça,

4:40 un météorologue américain, Edward Lawrence,

4:42 avait décidé de travailler avec un modèle ultra ultra simplifié de l'atmosphère

4:46 avec seulement trois paramètres.

4:48 Trois, ce n'est vraiment pas beaucoup.

4:49 C'est comme si pour décrire l'état de toute l'atmosphère à un instant donné,

4:52 on ne regardait que trois nombres.

4:54 Par exemple, la température, la pression et la vitesse du vent,

4:57 mais juste en moyenne sur toute l'atmosphère.

4:59 C'est comme si tout le bulletin météo de la Terre tenait en seulement trois nombres.

5:03 Alors en réalité, dans le modèle proposé par Lawrence,

5:05 ces trois nombres n'étaient pas exactement

5:07 la température, la pression et la vitesse du vent.

5:09 Enfin, pour schématiser, on va faire comme si c'était le cas.

5:12 Pour faire ça, Lawrence est parti de trois équations

5:15 décrivant une version très simplifiée des mouvements de l'air dans l'atmosphère.

5:18 Ensuite, Lawrence a fait ce qu'on a fait avec le pendule.

5:21 Il a pris une situation de départ et il a simulé ce qui se passait avec un ordinateur.

5:25 A l'époque, c'était à la fin des années 60,

5:27 son ordinateur était une bête de course appelée Royal McBee LGP30.

5:32 Un monstre disposant de 16 kg de RAM et cadencé à 0,00012 GHz.

5:38 Le tout pour la modique somme de 50 000 dollars.

5:41 Des dollars de l'époque en plus.

5:43 Mais ça a permis à Lawrence de simuler ses équations

5:45 et voilà le genre d'évolution qu'il a obtenue.

5:47 Vous voyez ici la variation dans le temps de ces trois variables.

5:51 On remarque qu'elles oscillent de façon plus ou moins coordonnée

5:54 mais qu'elles changent de temps en temps de façon apparemment assez erratique.

5:58 Sauf qu'un jour, Lawrence avait arrêté sa simulation

6:01 et il s'est dit plus tard qu'il voudrait bien la reprendre pour la pousser un peu plus loin.

6:05 Il aurait pu la redémarrer complètement au début et la laisser évoluer plus longtemps,

6:09 mais il s'est dit qu'il pouvait très bien la reprendre au milieu.

6:12 Pour reprendre une simulation au milieu, c'est simple.

6:14 On prend des points intermédiaires qu'on avait trouvés dans le calcul précédent,

6:17 par exemple ceux-ci.

6:18 On les rentre dans l'ordinateur comme nouveaux points de départ

6:20 et on refait tourner les équations.

6:22 Comme prévu, les trajectoires ont commencé de façon identique

6:25 et puis à sa grande surprise, elles se sont séparées de ce qu'il avait déjà obtenu

6:29 pour évoluer de façon complètement différente.

6:32 Lawrence a évidemment été étonné.

6:34 Il a cru que sa machine avait une panne ou une défaillance

6:37 et puis il a trouvé l'explication.

6:39 Pour relancer sa simulation, il avait réentré dans l'ordinateur

6:42 les nombres qui s'étaient affichés à l'écran de son calcul précédent.

6:45 Or, ceux-ci n'étaient donnés qu'avec trois chiffres, par exemple 5,16

6:49 alors que l'ordinateur, lui, dans sa mémoire, en stockait 6,

6:52 du genre 5,16 263.

6:55 Du coup, Lawrence croyait relancer sa simulation en partant du même point,

6:58 mais comme il se basait uniquement sur les trois chiffres,

7:01 il avait recommencé en partant d'un point très légèrement différent

7:04 de ce qu'il avait fait avant.

7:06 C'est pour ça que les deux courbes ont divergé.

7:08 Le point initial n'était pas exactement le même.

7:11 Lawrence venait de découvrir que son système d'équation,

7:14 pourtant très très simple, était extrêmement sensible

7:16 au choix du point de départ, à la condition initiale,

7:19 et que même en prenant deux points de départ très très proches,

7:21 les évolutions finissaient par être différentes.

7:24 Quand il a raconté sa découverte dans une conférence quelques années plus tard,

7:27 il a donné à son exposé un titre resté célèbre.

7:30 Est-ce qu'un battement d'aile de papillon au Brésil

7:32 peut provoquer une tornade au Texas ?

7:35 Et c'est comme ça qu'est née l'expression l'effet papillon.

7:37 Il faut passer un peu de temps sur le sens réel de cet effet,

7:40 qui est souvent un peu dévoyé.

7:42 Ce que nous dit Lawrence, c'est que si vous voulez prévoir

7:44 s'il y aura une tornade au Texas dans, disons, un mois,

7:47 en théorie vous pouvez, mais en pratique,

7:49 ça veut dire qu'il vous faut connaître avec une précision extrême

7:52 l'état actuel de l'atmosphère terrestre.

7:54 Puisque la moindre petite différence initiale

7:56 peut mener à une évolution différente un mois plus tard,

7:59 si vous voulez que votre prédiction soit juste avec un mois d'avance,

8:02 il faut que vous preniez en compte tous les mouvements de l'air les plus infimes,

8:05 jusqu'à ceux que provoqueraient les ailes des papillons.

8:08 Et ainsi, on peut très bien avoir une situation

8:10 où avec un certain papillon au Brésil,

8:12 on a une tornade au Texas un mois plus tard,

8:14 mais si on l'enlève, la tornade disparaît.

8:17 Malgré tout, ça ne veut pas dire que ce papillon est la cause de la tornade.

8:21 Dans l'interprétation de l'effet papillon,

8:23 il faut bien comprendre ce qu'on entend par le terme « provoquer ».

8:26 Ok, avec le papillon, tornade, sans le papillon, pas de tornade.

8:29 Mais ça se trouve, en gardant le papillon,

8:32 en ajoutant une mouche ailleurs, on aurait aussi supprimé la tornade.

8:35 Et en enlevant deux papillons, elle serait revenue.

8:38 Ce n'est pas un papillon qui cause la tornade.

8:40 La tornade est la conséquence de l'ensemble

8:42 des conditions initiales de l'atmosphère qui a évolué.

8:44 Et la sensibilité aux conditions initiales est telle

8:47 que tous les minuscules détails comptent

8:49 et vont en quelque sorte conspirer pour donner la tornade au Texas.

8:53 C'est important de bien comprendre ça parce que le concept de l'effet papillon

8:56 a été beaucoup repris dans la culture populaire,

8:58 notamment dans le cinéma, d'une façon un peu détournée.

9:02 La conséquence pratique de l'effet papillon,

9:04 c'est que si vous vouliez prédire la météo qu'il fera dans un mois,

9:07 il faudrait connaître l'état actuel de l'atmosphère

9:09 avec une précision ahurissante.

9:11 Et comme évidemment ce n'est pas le cas,

9:13 on n'a pas des capteurs ultra précis en tous les points de l'atmosphère,

9:16 il y a une limite fondamentale à ce qu'on peut prédire dans le domaine de la météo.

9:20 Quoi qu'on fasse, on ne pourra jamais faire mieux que, disons, deux semaines.

9:24 Et d'ailleurs, de façon ironique, le simple fait de parler de la météo

9:27 crée des mouvements d'air qui auront un impact

9:29 sur le temps qu'il va faire dans quelques semaines.

9:31 Et vous voyez que cet effet papillon n'est pas spécifique

9:33 du fait que l'atmosphère est un système très riche à décrire.

9:36 Les équations de Lorenz décrivent une atmosphère ultra simplifiée

9:39 à seulement trois paramètres en tout,

9:41 et elles sont déjà sujettes à ce phénomène.

9:43 Alors on pourrait s'arrêter là,

9:44 mais on a à peine effleuré certaines beautés des systèmes chaotiques.

9:47 Et pour les regarder de près,

9:49 on va considérer le plus simple d'entre tous.

9:52 Encore beaucoup plus simple que les équations de Lorenz.

9:55 Le système chaotique qu'on va voir maintenant est très simple pour deux raisons.

9:59 La première, c'est qu'il n'y a qu'un paramètre à suivre.

10:02 La deuxième, c'est qu'il n'évolue pas de façon continue,

10:04 comme un double pendule ou la météo,

10:06 mais pas à pas.

10:08 Prenez un nombre x entre 0 et 1.

10:10 Ce sera notre point de départ.

10:12 L'étape 0.

10:13 Et appliquez-lui la transformation suivante.

10:15 4 x x 1-x.

10:18 Par exemple, si je pars de x égale 0.37,

10:20 j'arrive à 0.93.

10:22 Et recommencez.

10:23 Appliquez la même transformation.

10:25 Vous tombez sur 0.25.

10:27 Et recommencez ainsi de suite.

10:29 C'est très simple.

10:30 Vous pouvez même le faire avec un tableur.

10:32 Si on trace le résultat obtenu sur une cinquantaine d'étapes,

10:34 on obtient un comportement apparemment complètement erratique.

10:37 Maintenant, faisons le même calcul

10:39 en partant non pas de 0.37,

10:41 mais en ajoutant un millionième,

10:43 c'est-à-dire 0.370 001.

10:46 Et voici ce qu'on obtient.

10:48 Au début, les deux courbes se suivent.

10:50 Au début, les deux courbes se superposent,

10:52 mais dès qu'on a atteint une quinzaine d'étapes,

10:54 elles se séparent et suivent des chemins complètement différents.

10:57 Pour un petit millionième d'écart au début,

11:00 ça veut dire que notre système a une énorme sensibilité

11:02 au point de départ, à la condition initiale.

11:04 C'est un système chaotique soumis à l'effet papillon.

11:07 Ce petit système chaotique hyper simple

11:09 s'appelle la fonction logistique.

11:11 Et il est inspiré d'un modèle très élémentaire

11:13 d'évolution de population telle qu'on pourrait en avoir en biologie.

11:16 Mais ce qui est fascinant,

11:18 c'est que si on le modifie très légèrement,

11:20 les comportements changent.

11:22 Prenons la même transformation, mais en remplaçant le 4 par un 2.

11:25 Ça a l'air assez bénin comme changement.

11:27 Et pourtant, regardez le comportement qu'on obtient.

11:29 J'ai pris quelques points de départ différents,

11:32 et en quelques coups à peine,

11:34 on converge vers 0,5.

11:36 Ce n'est pas du tout chaotique, au contraire.

11:38 Pour ce système, 0,5 est ce qu'on appelle un attracteur.

11:42 Si je change mon 2 en 1,6,

11:45 on a toujours un attracteur,

11:47 mais dont la valeur est différente, à peu près 0,38.

11:51 Pour un coefficient de 2,8, l'attracteur est à 0,64.

11:56 Essayons maintenant avec un coefficient 3,1.

12:02 Là, c'est bizarre, les courbes finissent par osciller en permanence

12:05 entre 0,76 et 0,56.

12:07 On a un attracteur qui n'est plus un point,

12:10 mais plusieurs points à tour de rôle.

12:12 L'attracteur est ce qu'on appelle une orbite périodique.

12:14 Un peu comme l'orbite d'une planète est une trajectoire qui se répète,

12:17 on a une oscillation périodique entre deux valeurs.

12:20 Avec un coefficient de 3,5, le système oscille cette fois entre 4 valeurs.

12:26 Et à 3,56, 8 valeurs.

12:28 A ce rythme-là, on va arrêter de faire ça à la main

12:31 et on va programmer tout ça pour faire un graphique.

12:33 En abscisse, on va mettre la valeur du paramètre de croissance,

12:36 le coefficient entre 1 et 4,

12:38 et on va simuler le système avec tout un tas de valeurs.

12:41 Pour chacune, on va tracer les points ou les orbites vers lesquels ils se stabilisent.

12:45 Ici, on a déjà trouvé quelques valeurs.

12:47 On va lancer des gros calculs pour toutes les autres.

12:50 Et voilà le diagramme qu'on obtient.

12:54 Entre 1 et 3, on converge toujours vers un attracteur qui est juste un point

12:58 et dont la valeur est de plus en plus élevée.

13:00 Et puis, à partir de 3, on passe à des oscillations entre deux valeurs.

13:04 Le point où on a un changement de comportement s'appelle une bifurcation.

13:08 Et puis un peu plus loin, ça se redivise et puis à nouveau, etc.

13:11 On pourrait croire que ce qu'on va avoir après sont encore des divisions successives,

13:15 mais non.

13:16 En fait, on peut montrer qu'à partir de 3,57,

13:19 on a un vrai changement de nature

13:21 et on entre dans un comportement complètement chaotique,

13:23 sans aucune orbite périodique.

13:25 C'est exactement ce comportement qu'on avait vu initialement quand le paramètre valait 4.

13:29 Ce qui est bizarre, c'est que quand on regarde le diagramme de près,

13:32 on voit des zones où le chaos disparaît

13:34 et on retombe sur des orbites périodiques,

13:36 comme ici, pour le paramètre autour de 3,83,

13:39 où on a des oscillations entre trois valeurs.

13:42 Et si on zoome sur ces zones de calme, ces bandes blanches,

13:45 on retrouve des bifurcations à l'intérieur.

13:48 Et on voit qu'elles se reproduisent avec le même motif de dédoublement,

13:51 suivi à nouveau d'une petite zone chaotique,

13:53 puis d'une mini zone de calme.

13:55 Et on peut zoomer à nouveau dessus,

13:57 juste autour de 3,854,

13:59 et retrouver des bifurcations, et ainsi de suite.

14:02 Le diagramme de bifurcation possède une structure dite fractale,

14:06 c'est-à-dire qui se répète au fur et à mesure qu'on zoom dessus.

14:09 Il faudrait probablement faire une vidéo entière sur les fractales, ça viendra.

14:12 En attendant, je vous renvoie à celle de la chaîne

14:15 qui a fait un très chouette épisode sur le sujet.

14:19 Et puis abonnez-vous à sa chaîne, elle est vraiment super bien.

14:22 La notion de chaos et celle de fractales entretiennent des rapports étroits,

14:25 même s'ils ne sont pas faciles à saisir.

14:27 Les fractales semblent surgir à plusieurs endroits

14:30 quand on considère des systèmes chaotiques.

14:32 On l'a vu dans le diagramme de bifurcation précédent,

14:34 mais on va voir que c'est également le cas avec le système de Lorentz.

14:40 On l'a constaté, quand il est dans un régime chaotique,

14:43 le système obtenu par la fonction logistique

14:45 semble prendre des valeurs de façon aléatoire

14:47 et passer par tous les nombres possibles entre 0 et 1.

14:50 On peut se demander si c'est la même chose avec le système de Lorentz.

14:53 Est-ce que les 3 paramètres passent par toutes les valeurs possibles ?

14:57 Pour le savoir, on va tracer leur évolution en 3 dimensions.

15:00 Ici, vous avez un graphique en 3D

15:02 pour représenter la valeur des 3 paramètres de Lorentz.

15:05 Un point dans ce diagramme représente l'état de l'atmosphère à un instant donné

15:09 avec sa température, sa pression et sa vitesse du vent.

15:12 On va regarder la trajectoire qui suit à partir d'un point de départ que vous avez ici.

15:16 Et voici ce qu'on obtient en appliquant les équations.

15:20 L'évolution fait comme des tours autour d'un point

15:23 puis, de temps en temps, s'en va faire des tours autour d'un autre point.

15:26 Je vais faire une rotation aux axes pour que vous y voyez clair.

15:38 Et on voit que la trajectoire dessine comme une structure

15:41 qui ressemble à 2 ailes de papillon.

15:43 Et oui, encore une histoire de papillon.

15:50 On a dit que le système de Lorentz est un système chaotique.

15:53 Pour le voir, lançons l'évolution depuis un autre point de départ

15:56 très voisin du point précédent.

15:58 Ici, on a 2 positions de départ, une en bleu et une en orange.

16:01 Elles sont très proches, d'ailleurs on ne les distingue pas.

16:04 Et si on lance l'évolution, ça se passe comme tout à l'heure.

16:08 Et puis vous voyez que finalement, les 2 évolutions se séparent.

16:11 Mais par contre, les trajectoires s'accumulent sur la même figure de papillon.

16:20 Et si je m'amuse à lancer l'évolution depuis plein de points différents

16:23 et éloigner les uns des autres, on obtient la même chose.

16:26 Des trajectoires différentes, mais qui s'accumulent toutes sur la même figure.

16:30 Cette espèce de figure en ailes de papillon agit comme un attracteur

16:33 qu'on appelle l'attracteur de Lorentz.

16:36 Mais ce n'est pas un point unique ou une orbite périodique

16:38 comme on peut avoir avec les systèmes simples.

16:40 L'attracteur a une drôle de forme

16:42 et les trajectoires semblent sauter de façon aléatoire d'une aile à l'autre

16:45 sans qu'on puisse deviner à l'avance ce qui va se passer.

16:53 Comme le modèle de Lorentz est un modèle de météo très simplifié,

16:56 on peut avoir envie d'interpréter ça en disant que l'une des ailes de l'attracteur

16:59 correspond à du beau temps et l'autre à du mauvais temps.

17:02 Alors c'est évidemment un petit peu plus compliqué que ça.

17:04 Par contre, on connaît un système dont le comportement ressemble un peu à celui de Lorentz,

17:08 c'est le champ magnétique terrestre.

17:10 Comme je le disais dans mon épisode sur la structure interne de la Terre,

17:13 ce champ est dû à des mouvements du métal liquide dans le noyau externe

17:16 dont la physique est un peu analogue de celle de l'atmosphère.

17:19 Et les inversions du champ magnétique

17:21 qui se produisent parfois à l'échelle géologique de façon apparemment aléatoire

17:25 correspondent à des changements brusques dans les mouvements du métal

17:28 et qui sont comparables à ce qui se passe quand la trajectoire du système de Lorentz

17:31 saute d'une composante à l'autre de l'attracteur.

17:34 Mais il y a plus que ça avec cet attracteur.

17:37 Déjà, à l'époque de son article fondateur,

17:39 Lorentz avait eu l'intuition qu'il devait avoir une structure particulière.

17:43 Mathématiquement, sur un attracteur, les trajectoires ne peuvent jamais se couper

17:47 et donc Lorentz avait compris qu'il ne pouvait pas s'agir d'une simple surface

17:51 mais qu'il devait y avoir une sorte de mille feuilles de surface

17:54 empilées les unes sur les autres et qui se répéteraient à l'infini.

17:57 L'attracteur de Lorentz possède en fait une structure fractale.

18:01 Un attracteur fractal, c'est évidemment quelque chose de très différent

18:04 des attracteurs comme les points fixes ou les orbites périodiques.

18:07 Depuis, on a appelé ça un attracteur étrange.

18:10 Sauf que si cet attracteur est vraiment fractal avec une structure en mille feuilles,

18:14 on devrait pouvoir observer cette structure en zoomant,

18:17 un peu comme on a fait avec le diagramme de bifurcation.

18:19 Alors en théorie oui, mais en pratique c'est impossible à voir.

18:23 Il faudrait bien trop zoomer.

18:25 Mais il existe un autre système beaucoup plus simple

18:27 en mesure de révéler la structure fractale de son attracteur étrange.

18:31 La transformation de Hénon.

18:36 La transformation de Hénon a été inventée par l'astronome français Michel Hénon.

18:40 Et elle ressemble à la transformation logistique,

18:42 c'est-à-dire avec une évolution discontinue, pas à pas,

18:45 mais simplement avec une dimension de plus.

18:47 On regarde un point XY du plan et on le fait évoluer à chaque étape

18:51 selon la transformation suivante.

18:53 X devient 1 moins 1,4 X carré plus Y et Y devient 0,3 X.

19:00 Très facile à simuler là aussi.

19:02 Prenons un point de départ quelconque et calculons son évolution.

19:06 Et voici ce qu'on obtient.

19:11 Et si on prend un autre point de départ, idem.

19:13 Et un troisième, et voilà.

19:15 Quel que soit le point de départ,

19:17 on voit qu'un attracteur se dessine avec une forme un peu bizarre.

19:20 Est-ce que c'est un attracteur normal ou un attracteur étrange,

19:23 c'est-à-dire fractal ?

19:25 Ici j'ai laissé la simulation tourner suffisamment

19:27 pour bien dessiner l'attracteur

19:29 et on va zoomer sur ce qui semble être un regroupement de quelques lignes.

19:33 Et voilà ce qu'on observe, les lignes se dédoublent.

19:36 Et on peut à nouveau zoomer

19:40 et révéler que chaque ligne est faite de plusieurs lignes,

19:43 et ainsi de suite.

19:46 L'attracteur de Hénon, qui avait l'air d'être une figure simple,

19:49 est en fait bien un attracteur étrange avec une structure fractale.

19:53 Pour la petite histoire, je vous ai dit que pour le système de Lorenz,

19:56 cette structure fractale était très compliquée à mettre en évidence.

19:59 Mais ça a été mathématiquement démontré en 2002 par Tucker,

20:03 et deux ans plus tard, en 2004,

20:04 quelqu'un a enfin pu observer la structure fractale par des calculs.

20:08 Mais il lui a fallu les faire en conservant 100 chiffres après la virgule.

20:12 La notion d'attracteur étrange est très importante

20:14 car elle nous montre qu'un système chaotique

20:16 n'est pas un système qui fait n'importe quoi de façon apparemment aléatoire.

20:20 Son évolution est imprévisible en pratique,

20:22 mais elle suit des régularités puisqu'elle converge vers l'attracteur.

20:26 On a vu qu'avec le système de Lorenz, on a bien un effet papillon.

20:29 L'évolution d'une trajectoire dépend de façon extrêmement sensible du point de départ.

20:33 Mais deux trajectoires différentes vont quand même se balader autour du même attracteur.

20:37 Une question qu'on peut se poser,

20:39 c'est que si on s'amuse à interpréter une des ailes comme le beau temps

20:42 et l'autre comme le mauvais temps,

20:44 est-ce qu'on peut avoir deux points de départ très proches

20:46 mais qui évoluent l'un avec une majorité de beau temps

20:49 et l'autre une majorité de mauvais temps ?

20:51 La réponse est non.

20:52 Si on s'amusait à regarder les trajectoires suffisamment longtemps,

20:55 on verrait que l'une et l'autre passent autant de temps

20:58 dans chacune des deux portions de l'attracteur.

21:00 Et on peut même rendre plus fort ce résultat.

21:02 Si vous prenez n'importe quelle petite région de l'attracteur,

21:05 si on laisse le système évoluer suffisamment longtemps,

21:07 eh bien n'importe quelle trajectoire finira par y passer

21:10 et avec la même fréquence que toutes les autres,

21:12 quel que soit le point de départ.

21:14 En pratique, si on reprend le cas de la météo,

21:17 ça veut dire qu'en variant légèrement la condition de départ,

21:20 on peut avoir ou ne pas avoir une tornade à un moment donné, à un endroit donné,

21:23 mais qu'à la fin, les deux évolutions contiendront autant de tornades l'une que l'autre.

21:27 Donc deux choses importantes à retenir sur l'effet papillon.

21:30 D'une part, on l'a dit, s'il y a une tornade,

21:32 ce n'est pas la faute de ce papillon en particulier.

21:34 Et d'autre part, s'il n'avait pas battu des ailes,

21:37 en fait la tornade serait quand même arrivée,

21:39 mais simplement à un moment différent.

21:41 C'est d'ailleurs déjà ce qu'avait anticipé Lorenz dans sa fameuse conférence.

21:44 Il écrit

21:45 « Avec les années, les minuscules perturbations n'augmentent ni ne diminuent

21:49 la fréquence des événements météo comme les tornades.

21:51 Le plus qu'elles puissent faire est de modifier l'ordre dans lequel ces événements se produisent. »

21:56 Les systèmes chaotiques de ce type sont imprévisibles dans les détails des évolutions,

22:00 mais si on regarde les choses statistiquement sur le long terme,

22:03 ils sont au contraire relativement prévisibles et insensibles aux conditions de départ.

22:07 Dans cette vidéo, pour l'instant, on a surtout parlé du système de Lorenz

22:10 et de quelques transformations simples.

22:12 Mais on sait maintenant que les évolutions chaotiques sont partout,

22:15 en astronomie par exemple.

22:17 C'est d'ailleurs quelque chose que Poincaré avait déjà noté à la fin du XIXe siècle.

22:20 Et on peut considérer que c'est lui le premier qui a mis le doigt sur ces notions de chaos et d'effets papillons.

22:26 Dès qu'il y a trois corps ou plus en interaction gravitationnelle,

22:29 on a un système chaotique.

22:30 Autant dire que c'est évidemment le cas du système solaire.

22:33 L'astronome français Jacques Lascar a pu calculer qu'au-delà de quelques dizaines de millions d'années,

22:37 la trajectoire des planètes devient totalement imprévisible

22:40 et qu'il faudrait connaître leur position initiale à quelques mètres près pour pouvoir le faire.

22:45 L'incertitude est particulièrement grande pour les planètes internes

22:48 que sont Mercure, Vénus, la Terre et Mars.

22:51 En simulant des milliers de destins envisageables,

22:54 Lascar a même montré que quelques pourcents des scénarios possibles sont instables

22:58 et peuvent conduire à l'éjection de Mercure de son orbite

23:00 et à sa collision avec une autre planète.

23:02 Si on revient sur Terre, certains billards sont aussi des systèmes chaotiques.

23:05 Alors pas le billard classique en fait, qui ne l'est pas à proprement parler,

23:08 mais des billards déformés, dits hyperboliques.

23:11 Et de façon générale, dès qu'on a des équations d'évolution non linéaires,

23:15 où on multiplie une variable par une autre,

23:17 on peut avoir un système chaotique.

23:19 C'est le cas en particulier en mécanique des fluides

23:21 et c'est ce qui cause le phénomène de turbulence.

23:23 Mais aussi dans certains circuits électroniques,

23:25 des réactions chimiques ou même les rythmes cardiaques.

23:28 L'idée des systèmes chaotiques est vraiment perturbante

23:30 parce que les évolutions ont beau être parfaitement déterministes,

23:33 on sait que quoi qu'on fasse, aussi puissant que soient nos ordinateurs,

23:37 il existe un obstacle fondamental au fait de pouvoir les prédire

23:41 et qu'on ne pourra jamais dépasser ça.

23:43 La théorie du chaos fait partie, avec la mécanique quantique et le théorème de Gödel,

23:47 de ces grandes découvertes du XXe siècle

23:49 qui ont sérieusement plombé l'ambition des humains

23:51 de pouvoir tout connaître par la science.

23:53 Merci d'avoir suivi la vidéo, comme d'habitude,

23:55 likez, partagez, abonnez-vous, la cloche, tout ça.

23:57 Si vous voulez plus de détails mathématiques,

23:59 j'en ai mis pas mal dans le billet de blog qui, comme toujours, accompagne la vidéo.

24:02 Je vous recommande aussi la vidéo de Dr Nozman

24:04 qui a notamment invité les de la chaîne Science4All

24:07 pour parler du double pendule.

24:09 Et enfin, si vous voulez creuser vraiment,

24:11 il y a le film Chaos qui a été fait par des mathématiciens

24:14 et dont je vous mets le lien en description.

24:15 Voilà, merci, à bientôt.

Effet Papillon et Théorie du Chaos

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