Le magnétisme est une illusion

0:00 Bonjour à tous. Aujourd'hui on va parler de l'origine du magnétisme et on va voir

0:06 que, en un certain sens, le magnétisme n'existe pas en tant que tel. Ce qu'on

0:11 appelle la force magnétique n'est rien d'autre qu'une force électrostatique

0:16 dont on ne s'était pas vraiment rendu compte qu'elle en était une. Et pour

0:21 comprendre ça, on va découvrir que le magnétisme a beau être un phénomène

0:25 courant, il trouve profondément son origine dans la théorie de la

0:29 relativité restreinte.

0:36 La manifestation la plus habituelle du magnétisme dans notre quotidien, ce sont

0:40 les aimants qui s'attirent et bien sûr le fait que le champ magnétique terrestre

0:45 oriente l'aiguille d'une boussole de façon à nous montrer le nord. Mais à la

0:51 base du magnétisme, il y a un phénomène plus fondamental, les champs

0:54 magnétiques dévient les particules chargées. Si une particule qui possède

1:00 une charge pénètre dans un champ magnétique,

1:02 elle va se mettre à dévier de sa trajectoire et c'est un truc super

1:06 important sur Terre car le soleil nous envoie régulièrement des particules de

1:10 ce genre, principalement des protons et des électrons qui forment ce qu'on

1:14 appelle le vent solaire. Si ces particules arrivaient toutes jusqu'à nous, non

1:19 seulement ça mettrait un sacré bazar dans nos télécommunications, mais en plus

1:23 à terme ça pourrait éroder et détruire l'atmosphère, dont on a quand même un

1:28 peu besoin. Heureusement pour nous, ces particules

1:31 chargées que nous envoie le soleil sont déviées par le champ magnétique

1:35 terrestre et les rares fois où certaines atteignent notre atmosphère, c'est quand

1:41 il y a des éruptions solaires vraiment importantes et chez nous ça se

1:45 manifeste par des aurores boréales. Le fait que les champs magnétiques dévient

1:50 les particules chargées, c'est fondamental et on peut s'en servir pour faire des

1:54 expériences intéressantes. Par exemple si on prend ce qu'on appelle un tube

1:58 cathodique, qui est en gros un canon à électrons, on peut voir la trajectoire du

2:04 faisceau d'électrons dedans, mais aussi visualiser comment cette trajectoire est

2:08 déviée quand on approche un aimant du tube et cela confirme bien que les

2:14 champs magnétiques dévient les électrons. Pour les moins jeunes qui ont connu les

2:19 télé cathodiques, c'est pour ça que si vous approchiez un aimant de l'écran ça

2:24 faisait un gros trou noir dans l'image. Ce qui est amusant avec cette force

2:28 magnétique qui agit sur les particules chargées, c'est que si on analyse ses

2:33 caractéristiques, on peut découvrir qu'elle est liée à la vitesse des

2:36 particules et toujours dirigée de façon perpendiculaire à cette vitesse. Et c'est

2:42 pour ça que cette force a tendance à provoquer des trajectoires circulaires

2:45 comme celle-ci. Une trajectoire circulaire, c'est ce qu'on obtient quand la force est

2:50 toujours perpendiculaire à la vitesse. Et c'est assez utile comme caractéristique

2:55 car c'est ça qui permet de faire des accélérateurs de particules ayant une

3:00 forme d'anneau. C'est le cas de ce qu'on appelle les cyclotrons ou bien encore du

3:05 LHC au CERN. Je vous renvoie à cette chouette vidéo que j'avais tournée là-bas.

3:10 L'ingrédient de base d'un accélérateur de particules,

3:14 c'est d'abord un champ électrique. C'est lui qui va permettre d'accélérer les

3:19 particules en leur appliquant une force dirigée dans la direction du champ. Une

3:24 force qui va accélérer la particule en maintenant sa trajectoire rectiligne.

3:27 Mais pour pouvoir en profiter au maximum, on alterne ces champs électriques avec

3:33 des champs magnétiques qui vont dévier les particules de façon circulaire. Ici

3:38 dans la zone du champ magnétique, la force magnétique est perpendiculaire à la

3:42 trajectoire. Et ça va permettre de faire une boucle et donc de ramener les

3:47 particules dans une zone d'accélération avec un champ électrique pour les

3:51 accélérer à nouveau. Et en faisant plein de tours de cette façon, les particules

3:56 peuvent acquérir une vitesse proche de celle de la lumière.

3:59 Donc si on regarde les choses dans leur ensemble, il semble exister deux forces

4:04 indépendantes qui agissent sur les particules chargées. D'un côté la force

4:09 électrostatique associée au champ électrique et qui accélère les

4:13 particules dans la direction du champ. La force qui s'applique c'est simplement la

4:17 charge de la particule Q multipliée par le champ électrique. Et de l'autre côté la

4:22 force magnétique associée au champ magnétique et qui dévie les particules

4:27 en une trajectoire circulaire et de façon proportionnelle à la vitesse. Et on a

4:32 aussi une formule pour ça qui fait intervenir la charge, la vitesse et le

4:36 champ magnétique B. Et comprendre les trajectoires des particules chargées

4:41 avec juste ces deux forces, eh bien ça marche super bien. On pourrait s'arrêter

4:46 là sans se poser de questions. Mais il y a vraiment un truc bizarre dans cette

4:50 dernière formule. La force magnétique dépend de la vitesse de la particule sur

4:56 laquelle elle s'applique. C'est un peu suspect ça car ça rentre en

5:00 contradiction avec le principe de relativité. Et là quand je dis principe

5:04 de relativité je parle même pas d'Einstein. On oublie souvent que l'idée

5:08 de relativité est bien antérieure à notre ami Albert. Bien avant lui, au XVIe

5:14 siècle, Galilée avait remarqué que si on fait une expérience sur la terre ferme

5:18 et qu'on fait la même expérience dans un bateau qui se déplace à vitesse

5:22 constante, le résultat était toujours identique. Le fait d'être dans un

5:27 référentiel qui se déplace à vitesse rectiligne uniforme, ici le bateau, n'a

5:32 aucun impact sur la façon dont se déroulent les phénomènes physiques.

5:35 Ceux-ci ne peuvent donc pas dépendre de cette vitesse puisque dans le bateau et

5:40 sur la plage on a toujours la même chose. Galilée aurait résumé ça de façon

5:44 compacte en disant le mouvement est comme rien. Être immobile ou se déplacer à

5:51 vitesse constante c'est absolument pareil du point de vue des lois de la

5:55 physique. Les mêmes règles s'appliquent. Vous le sentez bien quand vous êtes dans

6:00 une voiture, un train ou même un avion, tant que le véhicule va tout droit à

6:04 vitesse constante, les choses se passent pour vous et les objets qui vous entourent

6:09 comme si vous étiez immobile au sol. Pour exprimer ça on dit que, quel que soit le

6:15 référentiel galiléen dans lequel on se place, les lois de la physique sont les

6:19 mêmes. Et revenons donc à notre force magnétique. Si on a une force qui dépend

6:24 de la vitesse de la particule, ça veut dire que si je change de référentiel, la

6:28 vitesse de cette particule change et donc la force change, voire carrément si

6:33 je me mets dans le référentiel de la particule elle-même, la force magnétique

6:36 disparaît, il n'y aurait plus de déviation. C'est pas possible, c'est incohérent.

6:41 On l'a vu sur les expériences du tube cathodique, les électrons sont vraiment

6:46 déviés par les champs magnétiques. La force existe vraiment. Comment peut-elle

6:50 dépendre de la vitesse de la particule ? Qu'est-ce qui cloche dans ce raisonnement ?

6:55 Pour le comprendre, on va devoir s'intéresser à un autre type d'aimants,

6:59 les électro-aimants.

7:06 À part les aimants classiques, qu'on appelle les aimants permanents, si vous

7:10 voulez créer un champ magnétique, le meilleur moyen c'est de faire circuler

7:13 du courant dans un fil électrique. Car oui, le courant électrique engendre une

7:18 force magnétique autour de lui, qu'on sait quantifier. Prenez un fil de cuivre

7:24 et placez une particule chargée à une certaine distance du fil. Mettons que

7:28 cette particule se déplace à une certaine vitesse V. Le fil est neutre

7:32 électriquement, il contient autant de charge positive que négative, donc il ne

7:37 crée pas de champ électrique autour de lui. Il n'y a donc pas de force

7:40 électrostatique qui s'exerce sur la particule et celle-ci continuera tout

7:44 droit sa trajectoire. Maintenant, si vous faites circuler un

7:48 courant dans le fil, les lois du magnétisme nous disent qu'autour du

7:52 fil va se créer un champ magnétique et que ce champ va exercer une force sur la

7:58 particule et la dévier, du moins si celle-ci possède déjà une vitesse.

8:02 Par exemple dans cette configuration, une charge positive subira une force qui

8:07 l'attirera vers le fil. Cette force sera perpendiculaire à la

8:11 trajectoire et pour ceux qui aiment les formules, on peut écrire son expression

8:15 mathématique. On multiplie la charge Q par la vitesse V et l'intensité du

8:20 courant électrique. On divise par la distance au fil R, plus la charge est

8:25 loin, plus la force est faible et puis il y a une petite constante devant notée

8:29 mu0 sur 2pi. Et cette formule est très bien vérifiée expérimentalement.

8:34 Cette loi nous montre que les courants électriques sont à l'origine d'une

8:38 force magnétique car il crée un champ magnétique. Et qu'est ce que c'est un

8:43 courant électrique ? A l'intérieur du fil finalement ce sont juste des charges,

8:47 des électrons du métal qui se déplacent. C'est le mouvement des charges qui

8:52 engendre le champ magnétique. Ça c'est le principe de l'électroaimant et ça

8:56 vous semble peut-être assez différent de ce qui semble se passer dans un

8:59 aimant permanent. Et vous avez raison, même s'il y a des similarités et qu'on

9:04 peut en quelque sorte relier les deux. On peut en exagérant un peu voir les

9:08 aimants permanents comme des électroaimants naturels.

9:11 Pour la suite je vous propose de mettre cette différence sous le tapis et de

9:16 considérer que fondamentalement dans les deux cas ce sont les mouvements des

9:19 charges qui créent les champs magnétiques. On voit donc que la force

9:23 électrostatique et la force magnétique semblent bien toutes les deux au départ

9:27 créées par des charges mais avec un mécanisme différent. Dans le cas

9:32 électrostatique c'est la simple présence d'une charge qui va engendrer une force

9:36 électrostatique, la force de Coulomb, mais pour la force magnétique c'est le

9:40 déplacement de la charge qui compte. On peut écrire des équations précises

9:46 qui expriment les champs en fonction des caractéristiques de la charge qui

9:51 sert de source. Pour le champ électrique c'est la loi de Coulomb que vous

9:55 connaissez peut-être. Pour le champ magnétique c'est une formule un peu plus

9:58 compliquée et j'ai pas forcément besoin que vous la compreniez complètement. Mais

10:03 vous pouvez remarquer qu'il y a des similarités entre les deux formules.

10:07 Elles dépendent toutes les deux de la charge qs qui crée le champ, de la

10:12 distance R et chaque phénomène a sa propre constante dans l'expression de la

10:17 force. C'est ε0 dans le cas du champ électrique et μ0 dans le cas du champ

10:21 magnétique. Et on connaît les valeurs expérimentales de ces deux constantes.

10:26 Bien on a donc deux forces de nature différentes et c'est important de

10:31 comprendre qu'elles sont a priori indépendantes. On peut avoir l'une sans

10:35 l'autre. On l'a vu dans un fil électrique les

10:38 charges positives et négatives se compensent, il y a autant de plus que de

10:41 moins, donc pas de champ électrique. Mais si les électrons bougent, car il y a un

10:46 courant, un champ magnétique sera créé autour. On a donc bien deux phénomènes

10:51 distincts. Une fois qu'on en est là le paysage est plus clair mais on a

10:55 toujours ce problème de la vitesse. Comment est-ce possible que la force

10:59 magnétique puisse dépendre de la vitesse de la particule qui l'a subie

11:03 sachant que la vitesse c'est une notion relative qui dépend du référentiel.

11:07 Et bien pour résoudre ce paradoxe apparent il faut faire appel à la

11:12 relativité restreinte. On va voir en effet que d'une certaine façon il

11:17 n'existe en réalité qu'une seule force, la force électrostatique. Et que ce

11:22 qu'on appelle le magnétisme n'est qu'une manifestation un peu déguisée de la

11:27 force électrostatique, une sorte d'effet secondaire et qui peut se comprendre en

11:31 s'intéressant aux changements de référentiel en relativité restreinte.

11:35 Alors comme le sujet est un peu subtil dans la suite de la vidéo je voudrais

11:38 faire deux choses. Tout d'abord je vais vous présenter un

11:41 argument classique qu'on voit assez souvent vulgarisé et qui permet de

11:44 comprendre en gros ce qui se passe. Mais cet argument n'est pas complètement

11:48 satisfaisant et parfois si on creuse un peu on tombe sur des failles. Et donc dans

11:52 un deuxième temps la vidéo aura une sorte d'annexe, de bonus dans lequel je

11:56 présenterai une version plus rigoureuse qu'on trouve assez peu dans la

11:59 littérature mais qui à mon avis mérite d'être exposée car elle permet de

12:02 comprendre bien comment manipuler les lois de la relativité restreinte.

12:13 Alors allons-y. Considérons un fil conducteur disons du cuivre parcouru par

12:17 un courant électrique. Si le courant conventionnel est orienté vers la

12:21 droite on sait que ça signifie au niveau du fil que des électrons ici en bleu se

12:26 déplacent vers la gauche. Au contraire en rouge les ions du réseau cristallin qui

12:31 sont chargés positivement sont fixes. Ici je représente les ions et les

12:35 électrons côte à côte. Pour y voir clair évidemment il faut s'imaginer que tout est

12:38 mélangé. La vitesse de déplacement moyenne des électrons est assez faible

12:43 c'est ce qu'on appelle la vitesse de dérive et elle est en général de

12:47 seulement quelques millimètres par seconde. Je vous renvoie à ma vidéo sur

12:51 l'électricité pour en savoir plus. Maintenant considérez une particule de

12:56 charge Q, on va dire que la charge est positive, est située à une certaine

13:00 distance du fil. Si elle est au repos dans le référentiel du laboratoire dans

13:06 lequel se trouve le fil on sait qu'elle ne subit pas de force.

13:09 Cela traduit le fait que dans le fil les charges électriques, les ions et les

13:13 électrons se compensent, il n'y a pas de force électrostatique.

13:17 Maintenant imaginons que la particule aille à une certaine vitesse V. Quand je

13:22 parle de cette vitesse je parle bien sûr de sa valeur dans le référentiel du

13:26 laboratoire qui est celui du fil électrique. Mais on peut si on le souhaite

13:30 analyser toute la situation dans un autre référentiel, par exemple celui de la

13:35 particule. Dans ce référentiel la particule est immobile évidemment, les

13:41 ions positifs se déplacent vers la gauche à la vitesse V qui était celle

13:44 de la particule dans le référentiel du labo et les électrons se déplacent

13:48 aussi vers la gauche mais à une vitesse un peu plus élevée puisqu'ils avaient

13:51 déjà une vitesse dans le référentiel du labo. Mais pour comprendre ce que ça

13:56 change d'analyser les choses dans ce référentiel il faut faire appel à la

14:00 relativité restreinte. D'une certaine façon ce que fait la

14:04 relativité restreinte c'est qu'elle nous indique quelle est la bonne façon de

14:09 passer d'un référentiel galidéen à un autre.

14:11 Avant avec Newton et Galilée on croyait que c'était simple de changer de

14:16 référentiel mais l'apport d'Einstein a été de nous montrer que ça n'était pas

14:20 si évident. La conséquence de ces nouvelles règles de changement de

14:25 référentiel c'est qu'en relativité restreinte

14:27 certaines notions deviennent relatives. Des notions qu'on croyait absolues

14:32 identiques dans tous les référentiels vont maintenant dépendre du

14:35 référentiel d'observation. C'est par exemple le cas de la mesure des durées ou

14:40 des longueurs. Ces quantités vont varier quand on va

14:43 passer d'un référentiel galidéen à un autre et on dispose de formules qui nous

14:48 permettent de correctement faire ces changements. Un cas bien connu c'est ce

14:52 qu'on appelle la contraction des longueurs. L'expression n'est pas

14:55 forcément très bien choisie et on verra que son utilisation abusive mène parfois

15:00 à des contresens. Mais ce que nous dit en gros ce phénomène c'est que la

15:04 longueur d'un objet va maintenant changer en fonction du référentiel

15:08 d'observation. En particulier une longueur nous paraîtra toujours plus

15:12 courte dans un référentiel en mouvement comparé à ce qu'on mesurerait si on

15:17 était immobile à côté de l'objet. Et il est vraiment important de comprendre que

15:21 c'est un phénomène relatif. C'est pas le fait que moi je me déplace qui va faire

15:26 que vous vous subissez une pression qui vous fait vous contracter comme par

15:30 magie. Non c'est juste mes mesures à moi qui seront différentes.

15:34 La mesure des longueurs n'est plus absolue, elle dépend du référentiel.

15:38 Si vous voulez c'est votre longueur apparente pour moi qui va changer. Et en

15:43 pratique il faut faire attention à ne pas manipuler n'importe comment cette

15:46 notion de contraction des longueurs si on veut pas raconter des bêtises.

15:49 Ceci dit pour le moment appliquons ça sans trop nous poser de questions.

15:52 Si on se place donc dans le référentiel de la particule on voit que les ions et

15:57 les électrons sont en mouvement par rapport à nous. Et si on imagine qu'ils

16:00 sont bien répartis dans le métal, ce qui est à peu près le cas d'ailleurs, la

16:04 distance moyenne qui les sépare nous apparaîtra plus faible, contractée.

16:08 Donc on va rapprocher les uns des autres les ions du cristal en rouge.

16:13 J'exagère beaucoup sur les dessins, c'est pas du tout à l'échelle.

16:17 Et pour les électrons, souvenez-vous que dans le référentiel de la particule ils

16:20 s'éloignent un peu plus vite que les ions. Donc ces électrons apparaîtront

16:24 encore un peu plus rapprochés les uns des autres que les ions du cristal.

16:27 Cela signifie que du point de vue de la particule dans son référentiel, on a dans

16:32 une portion de fil de nez un excès d'électrons par rapport aux ions

16:37 positifs. Et donc du point de vue de la particule toujours dans son

16:40 référentiel, cet excès de charge négative va produire une force

16:45 électrostatique. Et si par exemple la charge Q est positive, cette force sera

16:50 dirigée vers le fil électrique, perpendiculairement à la vitesse. Et le

16:55 phénomène sera d'autant plus prononcé que la vitesse de la particule est

16:59 élevée puisque l'effet de contraction sera plus important. Et il dépendra aussi

17:03 de l'intensité du courant. S'il y a plus d'électrons qui circulent ou qu'ils

17:07 circulent plus vite, la force résultante sera plus élevée.

17:11 Cette force électrostatique qui apparaît dans le référentiel de la

17:15 particule du fait de la contraction des longueurs,

17:17 on trouve donc bien qu'elle a toutes les caractéristiques de ce qu'on appelait

17:21 dans le référentiel du labo une force magnétique. Ce que nous montre cet

17:26 argument, c'est que le magnétisme et l'électrostatique ne sont en réalité pas

17:31 deux phénomènes distincts. Il n'y a fondamentalement qu'un seul phénomène,

17:34 c'est l'électrostatique. Mais quand on considère la force électrostatique pour

17:38 des particules en mouvement, le changement de référentiel induit des

17:41 différences de densité de charge qui se traduisent par une force supplémentaire.

17:46 Ce qu'on a appelé historiquement le magnétisme, ça n'est rien d'autre qu'une

17:51 conséquence de l'électrostatique une fois pris en compte les lois de la

17:56 relativité restreinte. Et ça permet en quelque sorte de résoudre le paradoxe du

18:00 fait que la force magnétique dépend de la vitesse.

18:03 Je vous ai dit tout à l'heure que ce qui semblait bizarre c'est qu'on pouvait

18:06 annuler la force magnétique en se mettant dans le référentiel de la

18:09 particule. Et bien oui c'est vrai, si c'est ce qu'on fait la force

18:13 magnétique disparaît bien. Mais une force électrostatique apparaît à cause de la

18:18 contraction des longueurs et du déséquilibre de charge dont on a parlé.

18:22 Tout est donc bien cohérent, les forces ne disparaissent pas en changeant de

18:26 référentiel. On pourrait dire qu'elles changent de nature de magnétique à

18:30 électrostatique. Mais c'est même pas ça en fait, c'est nous qui avons

18:34 artificiellement créé cette différence avec nos concepts, fondamentalement ça

18:38 reste la même force. Ce qu'on peut conclure de cet argument c'est que ce

18:43 qu'on a appelé historiquement le magnétisme découle en fait de

18:46 l'association de la force électrostatique et de la relativité

18:49 restreinte. Le magnétisme n'est pas un phénomène indépendant, il est en quelque

18:53 sorte inévitable. Si on admet l'électrostatique et la

18:57 relativité restreinte, le magnétisme vient automatiquement dans le package.

19:01 Cet argument que je viens de vous présenter, vous le savez peut-être, c'est

19:05 une histoire différente de la façon dont les découvertes ont été faites

19:08 historiquement. L'électrostatique a été formalisé par Coulomb en 1785, le rôle

19:14 des courants électriques dans le magnétisme a été envisagé par Ampère

19:17 vers 1820 et à l'époque on ne connaissait pas la relativité restreinte et on

19:21 voyait ça comme deux phénomènes indépendants.

19:23 Ensuite entre 1860 et 1880 Maxwell a réussi à montrer que les champs

19:29 magnétiques et électriques étaient en fait reliés, interdépendants, sous la

19:33 forme de ce qu'on appelle aujourd'hui les équations de Maxwell. Et ce sont ces

19:37 mêmes équations qui ont ensuite en partie inspiré Lorenz puis Einstein pour

19:42 la découverte de la relativité restreinte.

19:44 Hystériquement ça s'est passé comme ça mais ce qu'on comprend maintenant c'est

19:49 que les choses auraient pu se passer de façon différente.

19:51 Si la relativité restreinte avait été découverte plus tôt on aurait pu réaliser

19:57 que le magnétisme était juste une conséquence inévitable de

20:00 l'électrostatique avant même de découvrir les équations de Maxwell.

20:03 Alors ça peut paraître bizarre de prendre cette perspective qui est

20:07 contraire à l'histoire des sciences mais je trouve que justement elle est

20:10 assez éclairante. Elle nous montre une connexion profonde

20:14 entre électricité et magnétisme, une connexion qui autrement ne se voit qu'à

20:18 travers les équations de Maxwell qui, il faut l'avouer, sont un peu difficiles à

20:22 appréhender. Bien alors on pourrait s'arrêter là mais il faut dire un truc.

20:27 L'argument que je vous ai exposé là avec la contraction des longueurs, il a

20:31 beau être présenté souvent, il n'est pas exactement hyper solide. Si vous

20:35 essayez de calculer vraiment avec l'intensité des forces tout ça, vous

20:39 allez voir que ça marche pas forcément très bien.

20:41 Une des raisons c'est qu'on a appliqué la contraction des longueurs de façon

20:45 un peu cavalière. Comme je vous l'ai dit il faut toujours se méfier quand on

20:49 fait ça et donc pour être plus précis on peut refaire la même analyse mais de

20:53 façon un peu plus carrée et ça va être l'objectif de la fin de la vidéo.

20:57 Alors mon but ici c'est pas de faire de la surenchère de rigueur et de vous dire

21:01 que cet argument de contraction des longueurs est faux. Non il est grosso modo

21:04 correct mais je trouve ça intéressant de traiter le problème proprement car

21:09 ça montre comment il faut procéder avec la relativité restreinte.

21:13 Quand on raisonne à un niveau vulgarisé on peut avoir tendance à appliquer de

21:17 façon trop légère les idées de contraction des longueurs ou dilatation

21:21 du temps et si on fait ça mal on tombe vite sur des paradoxes.

21:25 Je reçois à peu près toutes les semaines des mails de gens qui prétendent avoir

21:29 trouvé une contradiction dans la relativité en me faisant des raisonnements

21:33 un peu foireux à base de contraction et de dilatation appliquées n'importe comment.

21:37 Donc voilà dans la fin de la vidéo je vais vous montrer comment traiter ce cas

21:41 correctement. Considérez ça comme une partie bonus, une annexe pour celles et

21:46 ceux qui en veulent plus. Dans la suite on va un peu plus manipuler les formules

21:51 donc si vous préférez en rester là je vous en voudrais pas.

21:54 Vous êtes toujours là ? Bon bah ok alors on y va.

22:03 Alors oublions pour l'instant notre fil électrique et considérons une ligne de

22:08 charge régulièrement espacée ainsi qu'une particule chargée située à une

22:13 distance r de la ligne et supposons que tout le monde est immobile pour commencer.

22:18 Si r est suffisamment grand on peut approximer les charges individuelles de

22:23 la ligne par simplement une densité de charge notée lambda qui s'exprime en

22:28 coulombs par mètre. Si on suppose la ligne infinie on peut

22:33 calculer la force électrostatique exercée sur la particule par toutes ses

22:37 charges et il y a deux façons de le faire soit la façon pédestre soit le

22:41 raccourci. Pour faire la façon pédestre on considère chaque segment infinitésimal

22:46 de la ligne, on calcule la force électrostatique qu'il crée sur notre

22:50 charge et on fait une intégrale sur toute la ligne. Pour le raccourci on

22:54 utilise l'essimétrie et le théorème de Gauss. Dans les deux cas on trouve

22:58 évidemment le même résultat. La force électrostatique exercée par la ligne de

23:02 charge est perpendiculaire à la ligne et égale à q lambda divisé par 2 pi

23:09 epsilon 0 r. Epsilon 0 ici c'est la permittivité du vide, c'est la constante

23:13 qui apparaît dans la force de coulomb. Si les charges sont de même signe c'est

23:17 une force répulsive sinon c'est attractif. Jusqu'ici tout va bien.

23:21 Maintenant que se passe-t-il si je donne une vitesse u aux charges de la ligne et

23:27 une vitesse v à la particule ? Pour analyser cette situation il y a trois

23:31 référentiels possibles. Celui du labo dans lequel on se trouve pour l'instant,

23:35 celui de la particule qui se déplace et celui des charges de la ligne.

23:40 Les observations qu'on fait c'est dans le référentiel du labo évidemment donc

23:44 si on fait des raisonnements dans un autre référentiel il faudra

23:47 impérativement revenir au référentiel du labo pour exprimer nos conclusions.

23:51 Dans l'argument que j'ai présenté avant on avait choisi de se mettre dans le

23:54 référentiel de la particule mais en fait il est plus rigoureux de se mettre dans

23:59 celui des charges qui se déplacent dans la ligne. Alors pourquoi ? Dans la force

24:03 électrostatique telle qu'elle a été formulée par Coulomb on peut séparer

24:07 conceptuellement les deux charges entre celles qui jouent le rôle de source et

24:11 celles qui subit la force. Et dans notre situation comme les deux

24:16 bougent on peut choisir un référentiel permettant d'avoir soit l'une soit

24:20 l'autre qui soit immobile. Mais pas les deux à la fois puisque a priori la

24:24 vitesse des charges du courant et la vitesse de notre particule sont

24:27 différentes. Quand la source est au repos et que la

24:30 particule bouge on est en terrain connu. C'est exactement ce qui se passe quand

24:35 on étudie une particule chargée en mouvement dans un champ électrique

24:38 vu qu'on applique f égale ma. C'est avec ça qu'on fait des accélérateurs, on a des

24:44 plaques chargées immobiles et des particules qui ont une certaine vitesse

24:47 entre les plaques et ça marche très bien. Si la source est au repos on sait

24:51 que la loi de Coulomb fonctionne parfaitement bien même si la particule

24:55 qui est affectée bouge. Donc c'est ce point de vue qu'on va prendre, il est plus

24:59 fiable que le point de vue inverse. Notre démarche va donc être la suivante.

25:04 Considérez que l'expression usuelle de la force électrostatique de Coulomb est

25:08 parfaitement valide tant qu'on est dans le référentiel de la source, donc de la

25:12 ligne de charge. Et si on veut se mettre ensuite dans un autre référentiel et

25:15 bien il va falloir en changer grâce aux lois de la relativité restreinte.

25:20 Donc mettons nous dans le référentiel des charges du fil. Dans ce référentiel la

25:24 particule est en mouvement mais ça ne nous pose pas de problème.

25:28 On calcule la force électrostatique simplement avec la formule de Coulomb.

25:32 C'est la même formule que juste avant, il n'y a pas d'histoire de longueur qui se

25:36 contrate. Maintenant une fois que c'est fait il va falloir revenir dans le

25:40 référentiel du labo. En relativité galiléenne ce serait facile, les

25:44 distances et les intervalles de temps sont absolus, les vitesses s'additionnent et les

25:49 forces restent identiques quand on passe d'un référentiel galiléen à l'autre.

25:53 En relativité restreinte et bien ça se complique, il y a des règles précises à

25:57 suivre. Par exemple la composition des vitesses

26:01 devient subtile. On a dit que dans le référentiel du labo les charges de la

26:06 ligne allaient à la vitesse u et notre particule à la vitesse v. Quand on passe

26:11 dans le référentiel des charges on pourrait être tenté de dire que la

26:15 particule y va à la vitesse v moins u. Mais non, en relativité restreinte on n'a

26:21 plus le droit d'additionner bêtement les vitesses. Il faut utiliser la loi de

26:25 composition des vitesses qui est plus compliquée. Donc vraiment il faut faire

26:29 attention et appliquer rigoureusement toutes les règles de changement de

26:32 référentiel. Et notamment en relativité restreinte quand on change des

26:36 référentiels l'expression des forces change aussi.

26:39 C'est quelque chose dont on a moins l'habitude car souvent quand on débute

26:43 la relativité restreinte on fait surtout beaucoup de cinématiques.

26:47 On a en général des vitesses constantes et on ne parle pas tellement de force ou

26:52 d'accélération. On entend même parfois dire que la

26:54 relativité restreinte n'est valide que quand il n'y a pas d'accélération ce

26:58 qui est évidemment complètement faux. En relativité restreinte on peut

27:01 parfaitement avoir des forces, des accélérations et on a même l'équivalent

27:04 de la formule somme des forces égale ma. Mais avec ces forces et ces

27:08 accélérations pour passer d'un référentiel à l'autre

27:11 et bien il y a des formules précises à appliquer. Pour faire ce changement

27:15 attention cette fois on veut aller dans l'autre sens par rapport à mon exemple

27:18 des vitesses. Ici on a calculé une force dans le référentiel des charges et on

27:22 veut revenir dans le référentiel du labo. Quand on a une force qui est

27:25 perpendiculaire à la vitesse de la particule à laquelle elle s'applique, ce

27:28 qui est notre cas, la formule n'est pas trop compliquée.

27:31 La voici. Vous voyez que la force exprimée dans le référentiel du labo dépend à

27:36 la fois de la vitesse relative des référentiels donc de u dans notre cas

27:39 et de la vitesse de la particule affectée par la force qui est v.

27:44 Maintenant qu'on dispose de ces formules, appliquons donc ça sur l'expression de

27:49 la force qu'on a trouvé pour la ligne de charge. Pour revenir dans le

27:53 référentiel du labo on a juste à multiplier la force qu'on avait

27:56 calculée précédemment par ce facteur. Alors là vous avez peut-être envie de me

28:01 dire que j'ai oublié d'appliquer la contraction des longueurs sur la densité

28:05 lambda. Mais pas du tout, la contraction des longueurs c'est pas un truc

28:08 fondamental, c'est un phénomène qui émerge quand on fait les changements de

28:12 référentiel car ces changements affectent les coordonnées. Là si vous

28:16 faites proprement le calcul, et vous pouvez même le faire au niveau de

28:19 l'intégral pédestre qui calcule la force totale, vous verrez qu'il n'y a pas de

28:24 contraction des longueurs à rajouter à la main. On applique simplement les

28:28 formules de changement de référentiel. On peut comparer le résultat qu'on

28:32 obtient avec ce qu'on avait dans le cas statique. C'est presque pareil sauf qu'on

28:37 a ce facteur en plus qui dépend des vitesses et de la vitesse de la lumière.

28:41 Ok très bien la force électrostatique exercée par une ligne de charge n'est

28:46 donc pas la même quand il y a des mouvements.

28:48 Jusqu'ici on l'a dit je n'ai pas considéré un fil électrique conducteur

28:52 mais juste une ligne de charge. Or dans un conducteur on le sait on a à la fois

28:56 des charges positives, les ions du réseau cristallin, et des charges négatives.

29:00 Donc on va appliquer deux fois cette formule puisque deux forces s'exercent.

29:05 Appelons lambda plus et lambda moins les densités de charge des ions et des

29:09 électrons respectivement. Pour les électrons qui se déplacent à vitesse u

29:14 on applique notre formule telle qu'elle. Pour les ions vu que leur vitesse est

29:18 déjà nulle et bien c'est la formule standard qu'on avait déjà. On obtient pour la force

29:23 totale la formule suivante. Alors regardons d'abord cette formule pour v

29:28 égale 0 quand la particule n'a pas de vitesse.

29:31 On sait que dans ces conditions il n'y a pas de force ni magnétique ni électrique

29:35 c'est un fait empirique. Donc cette expression doit valoir zéro.

29:40 Ça veut dire que contrairement à ce qu'on pourrait penser intuitivement les

29:44 deux densités de charge lambda plus et lambda moins sont légèrement différentes

29:48 du fait du mouvement des électrons. Donc ici si on exprime tout en fonction de la

29:53 densité des ions positifs lambda plus on obtient la formule totale suivante.

29:58 Essayons de comparer à ce qu'on sait des lois du magnétisme. Par exemple en

30:03 essayant de lui donner une forme connue. On va la mettre sous la forme q fois v

30:07 fois un machin. Le produit de lambda par la vitesse des charges c'est juste le

30:13 courant électrique. Et là on se retrouve exactement avec ce que nous dirait les

30:18 lois du magnétisme, la formule que je vous avais présentée un peu plus tôt.

30:22 Les seules différences ce sont les constantes. On a 1 sur ε0 c² d'un côté

30:26 et μ0 de l'autre. Et bien il se trouve que ces deux quantités sont en fait

30:31 exactement égales. Les deux constantes ε0 et μ0 qui avaient été au départ

30:37 déterminées de façon indépendante sont en fait reliées entre elles par la vitesse

30:41 de la lumière. C'est une des choses qui a mis la puce à l'oreille de Maxwell pour

30:45 comprendre que sa théorie de l'électromagnétisme était aussi une

30:49 théorie de la lumière. Et avec notre analyse on comprend que c'était

30:52 inévitable. Si on dit que le magnétisme c'est juste de l'électrostatique plus la

30:57 relativité, ça nous dit que cette constante μ0 doit se déduire de ε0 c².

31:02 Voilà si vous êtes arrivé au bout de cette partie, félicitations. A nouveau mon

31:06 but n'est pas ici de jouer à celui qui sera le plus rigoureux mais je trouve

31:09 intéressant de mettre en lumière que la relativité restreinte il faut faire

31:13 attention quand on joue avec. L'argument heuristique à base de

31:16 contraction des longueurs fonctionne bien qualitativement mais si vous voulez

31:20 traiter les choses proprement il faut vraiment y aller en suivant les règles.

31:23 D'ailleurs de façon étonnante l'argument précis que je viens de vous

31:27 présenter est assez peu présent dans les livres d'électrodynamique. On le trouve

31:31 un peu chez Feynman mais le seul bouquin que j'ai trouvé qu'il le traite

31:34 vraiment de façon propre c'est celui de French. Donc si vous étudiez la physique

31:37 ça vaut le coup d'aller lire ce chapitre. Voilà c'est tout pour aujourd'hui

31:41 n'oubliez pas de vous abonner si ça n'est pas le cas sinon vous risquez de

31:44 rater les prochaines vidéos. Retrouvez moi aussi sur le serveur

31:48 discord de la communauté, le lien est en description et puis moi je vous dis à

31:51 très vite pour une nouvelle vidéo. A bientôt !

Le magnétisme est une illusion

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