Du canon à la Lune : la découverte de la gravité

0:00 Bonjour à tous, aujourd'hui on va parler de la naissance de la théorie de la gravité.

0:05 Mais attention, pas de relativité générale de trous noirs ou de courbures de l'espace-temps,

0:10 non, non, simplement la force de gravité classique,

0:13 celle qu'on apprend au lycée et qu'on appelle parfois la gravité newtonienne.

0:18 Alors même si elle vous paraît déjà très familière,

0:20 vous allez voir que cette force de gravité mérite quand même

0:23 qu'on s'intéresse en profondeur à la façon dont elle a été comprise.

0:26 Et ça va être aussi pour moi l'occasion de tester un truc nouveau.

0:29 J'ai créé plusieurs simulations interactives pour illustrer ce que je vais raconter.

0:34 Et si vous le souhaitez, vous pouvez aller jouer avec sur mon site web, le lien est en description.

0:38 Ça devrait vous permettre de mieux comprendre en expérimentant par vous-même

0:41 les notions dont on va parler aujourd'hui.

0:44 Quand on pense à la découverte et à la compréhension de la force de gravité,

0:47 on pense évidemment d'abord à Isaac Newton.

0:50 Vous savez, la pomme qui lui tombe sur la tête.

0:53 Mais cette anecdote, outre le fait qu'elle est probablement en partie fausse,

0:56 je trouve qu'elle a le défaut de masquer la véritable contribution de Newton.

1:01 Plutôt que de sa pomme, on va voir qu'on ferait mieux de parler de son canon.

1:05 En effet, l'anecdote de la pomme pourrait nous faire croire que c'est Newton qui, le premier,

1:09 a compris de quelle façon les objets tombaient vers le sol.

1:12 Alors qu'en fait, avant lui, cette question avait déjà été pas mal étudiée,

1:16 et ce, pour une raison tout à fait pratique, la balistique.

1:20 Alors la balistique, c'est la discipline qui essaye de comprendre

1:23 et de prévoir la trajectoire des projectiles, comme par exemple les boulets de canon.

1:27 C'est une question qui intéressait pas mal de monde à l'époque.

1:29 La poudre à canon se répand en Europe au cours du XIVe siècle,

1:33 et les canons deviennent rapidement incontournables sur le champ de bataille.

1:37 Alors au début, on s'en sert d'une façon assez bourrine pour tirer tout droit ou fracasser des murs.

1:42 Mais au bout d'un moment, les gens se disent que ce serait pas mal de pouvoir viser.

1:47 Alors à l'époque, pour expliquer le mouvement des projectiles,

1:49 il y avait ce qu'on a appelé la théorie de l'impetus.

1:53 Alors impetus, ça veut dire impulsion en latin.

1:56 D'après cette théorie, quand on propulse un projectile,

1:59 on lui donne une certaine quantité d'impetus qui va progressivement se consommer,

2:04 et quand il n'y a plus d'impetus, la gravité entre en jeu et fait tomber le projectile.

2:09 Du coup, cette théorie imaginait que le mouvement se faisait en deux temps.

2:13 D'abord une trajectoire rectiligne initiale qui dépendait de l'angle et la puissance à laquelle on avait tiré,

2:18 puis une chute verticale quand la gravité reprenait ses droits.

2:22 Alors ça peut paraître un peu ridicule comme idée,

2:24 mais c'est quand même assez proche de l'intuition naturelle qu'on peut avoir de la gravité.

2:30 Par exemple, quand je sautais du plongeoir de 5 mètres quand j'étais gamin,

2:33 je raisonnais souvent comme si le mouvement allait se produire comme ça, en deux temps,

2:37 comme si une fois mon saut initial effectué, je tombais à la verticale,

2:41 comme dans un dessin animé de Tex Avery.

2:44 Entre le XVIe et le début du XVIIe siècle,

2:46 il y a eu toute une lignée de savants italiens

2:49 qui ont remis en question la théorie du mouvement balistique issu de l'impetus.

2:53 Niccolò Fontana Tartaglia, par exemple,

2:56 s'était bien rendu compte que l'eau qui jaillissait des fontaines de la ville

2:59 ne suivait pas deux portions rectilignes, que ça faisait une courbe.

3:03 Même constatation quand il pissait dans le port de Venise après une soirée arrosée d'ailleurs.

3:07 En 1537, Tartaglia publie un traité sobrement appelé la Nova Scientia, la nouvelle science.

3:14 Ambitieux, hein ?

3:15 Mais pour le coup, ce titre était assez justifié

3:17 car il s'agit peut-être d'un des tout premiers ouvrages de mathématiques appliquées.

3:22 Tartaglia y aborde différentes questions des arts militaires

3:25 à l'aide d'outils mathématiques et notamment la question de la balistique.

3:29 Dans son texte, Tartaglia propose de dépasser un peu le modèle de l'impetus

3:34 et de fonder une véritable théorie géométrique des trajectoires des projectiles.

3:38 Et il propose de connecter les portions rectilignes de la trajectoire avec un arc de cercle.

3:44 Bon alors, ce n'est pas tout à fait ce qui se passe vraiment,

3:46 mais c'est déjà mieux que la trajectoire en triangle.

3:49 Tartaglia est également le premier à déterminer que viser avec un angle de 45°

3:53 permet de maximiser la portée du tir.

3:56 Si vous êtes en dessous, vous avez un tir tendu mais qui retombe moins loin,

3:59 et si vous êtes au-dessus de 45°, vous avez un tir en cloche qui lui aussi retombera moins loin.

4:04 D'ailleurs, Tartaglia conçoit un instrument avec des graduations et un fil à plomb

4:08 qui permet de faire ce réglage sur les canons.

4:10 Vous le mettez dans la bouche du canon et réglez l'angle jusqu'à la valeur voulue.

4:14 Les travaux de Tartaglia ont ensuite été repris par un de ses élèves, Benedetti,

4:18 qui a travaillé plus précisément sur la chute des corps

4:21 et la façon dont elles dépendent du matériau qui les constitue.

4:24 Tout cela aura évidemment une influence déterminante

4:27 sur celui qui finalement établit fermement les bases de la balistique, Galilée.

4:37 Vous connaissez tous l'histoire de la tour de Pise

4:40 et outre le fait que c'est probablement une légende également,

4:43 elle donne là aussi une vision un peu trop réductrice de ce qu'avait vraiment compris Galilée.

4:48 L'expérience de la tour démontre supposément que tous les corps tombent verticalement de la même façon,

4:53 indépendamment de leur masse, contrairement à ce que professait Aristote.

4:56 Évidemment, à strictement parler, il faut nuancer ça en prenant en compte l'effet des frottements de l'air.

5:01 Sur mon site, je vous ai recréé une petite simulation de l'expérience de la tour de Pise

5:05 avec des paramètres réalistes.

5:10 Vous pouvez varier la taille des billes et la masse volumique des matériaux.

5:17 Et comme je simule aussi les frottements de l'air, en supposant qu'on a des sphères,

5:21 on peut voir les écarts de temps de chute.

5:34 Une chose intéressante qu'on voit sur la simulation,

5:36 c'est que j'ai fait en sorte que chaque objet laisse sur sa trajectoire des petites marques,

5:41 ici toutes les 200 millisecondes.

5:43 Et ça permet de visualiser qu'on a une trajectoire accélérée.

5:47 Les sphères qui chutent vont de plus en plus vite

5:49 et parcourent de plus en plus de distance dans le même intervalle de temps.

5:53 Alors ça aurait pu être une vitesse uniforme, des marques espacées à intervalles réguliers,

5:58 mais non, c'est une accélération uniforme.

6:00 On peut le vérifier aussi avec les petits graphiques qu'il y a en dessous.

6:04 Évidemment, faire des observations chronométrées comme ça,

6:06 c'est quasi impossible à faire avec l'expérience de la Tour, à l'époque de Galilée en tout cas.

6:11 Mais une variante de l'expérience qu'il aurait supposément effectuée,

6:14 c'est plutôt de faire rouler des sphères sur un plan incliné.

6:17 Et ce qui est intéressant, c'est qu'avec un plan incliné, les trajectoires sont plus lentes.

6:22 On est au niveau du sol, donc on peut vraiment mesurer ce phénomène.

6:25 Et c'est super important, car si on connaît surtout Galilée

6:27 pour l'histoire du temps de chute égale et de la Tour de Pise,

6:30 en fait il va plus loin, car il quantifie le phénomène.

6:33 Il mesure que sur le plan incliné, les objets parcourent une distance verticale

6:37 proportionnelle au carré du temps de déplacement.

6:40 C'est-à-dire que les corps subissent une accélération verticale uniforme.

6:44 Dans le cas d'une chute libre de la Tour, avec les notations modernes,

6:48 on dirait que l'altitude z diminue comme 1,5 de gt²,

6:53 où g, c'est l'accélération de la pesanteur, donc 9,8 mètres par seconde carré.

6:58 Ça, c'est pour le mouvement vertical.

7:00 Mais l'autre point important des travaux de Galilée, c'est l'idée d'inertie,

7:03 et notamment de ce que les historiens des sciences ont baptisé l'inertie horizontale.

7:08 En effet, Galilée comprend que si un corps subit uniquement la gravité verticale,

7:13 son mouvement horizontal est conservé, sa vitesse ne change pas.

7:16 Galilée l'avait mis en évidence de façon tout à fait maligne dans le cas de la chute libre.

7:21 Pour comprendre ça, il fait des expériences avec une bille qui tombe du bord d'une table,

7:26 avec une certaine vitesse et dont il mesure la trajectoire.

7:29 Et il constate deux choses.

7:31 Premièrement, le temps de chute est toujours le même indépendamment de la trajectoire.

7:35 Et c'est le même que celui d'une chute verticale, on a toujours une accélération uniforme.

7:40 L'équation z égale moins 1,5 de gt² reste valide.

7:45 Mais en plus, au sein d'une trajectoire, la vitesse horizontale ne change pas au cours du mouvement.

7:50 C'est la même que celle qu'a la bille en quittant la table.

7:54 Si on l'appelle v0, alors la position horizontale x évolue comme v0 fois t.

8:00 Avec cette idée d'inertie horizontale, Galilée comprend que le mouvement horizontal

8:05 et la chute libre verticale sont en quelque sorte indépendants l'un de l'autre.

8:09 Le fait que la bille soit en train de tomber en z ne change pas la façon dont elle avance en x.

8:15 C'est ce qu'on voit ici dans la forme moderne des équations.

8:17 La bille tombe comme une bille en chute libre verticale

8:20 et avance comme une bille en mouvement uniforme horizontal.

8:24 Cette idée d'indépendance des deux mouvements vertical et horizontal,

8:27 on en a peut-être l'habitude quand on manipule les équations,

8:29 mais elle est finalement assez contre-intuitive pour nous.

8:32 Vous vous souvenez de mon exemple du plongeoir ?

8:34 Eh bien, si je ne tombe pas à la verticale,

8:37 c'est notamment parce que mon mouvement horizontal continue tout le long de la chute.

8:41 Donc arrivé dans l'eau, j'aurais parcouru une certaine distance horizontale.

8:47 Les plongeurs des falaises d'Acapulco, eux, l'ont bien compris.

8:50 S'ils ne continuaient pas d'avancer horizontalement pendant leur chute,

8:54 eh bien, ils se paieraient les rochers en bas des falaises.

8:57 Mais la vitesse initiale horizontale qu'ils se donnent

9:00 est conservée tout le long du mouvement, ce qui leur permet d'atteindre l'eau.

9:04 Tenez, une petite énigme pour illustrer d'une autre façon

9:07 ce caractère contre-intuitif de l'inertie horizontale

9:10 et de l'indépendance des deux mouvements.

9:11 Imaginez que vous soyez sur une tour avec un arc

9:14 et que votre ami situé sur une autre tour en face, à la même hauteur,

9:18 décide de lâcher une pomme.

9:20 Comment vous faites pour toucher la pomme à coup sûr avec votre flèche ?

9:24 Alors, ça paraît compliqué.

9:25 Il faut bien choisir la façon de tirer, l'orientation, la puissance.

9:30 Si vous faites des essais, on se rend vite compte

9:32 que ce n'est pas évident, a priori, de trouver la bonne vitesse et le bon angle.

9:36 Et pourtant, en fait, c'est très simple.

9:38 La solution, c'est qu'au moment où la pomme commence à tomber,

9:41 il faut tirer complètement à l'horizontale, à 0°

9:44 et avec la vitesse que vous voulez.

9:47 En effet, la pomme et la flèche sont soumises verticalement

9:50 à la même accélération de la pesanteur,

9:53 donc elles vont tomber verticalement au même rythme.

9:56 Les mouvements horizontaux et verticaux de la flèche sont indépendants,

10:00 donc si vous tirez avec un angle initial de 0,

10:02 votre flèche sera toujours à la même altitude que la pomme pendant sa trajectoire

10:07 et elle progressera horizontalement vers elle,

10:09 donc vous êtes certains de la transpercer.

10:11 Et ce, quelle que soit la vitesse initiale de la flèche,

10:13 vous pouvez mettre à peu près ce que vous voulez.

10:16 Sur ma petite simulation, vous pouvez vous en convaincre en ajoutant les petits guides de position.

10:20 On voit bien que si on tire horizontalement,

10:22 l'altitude de la pomme et de la flèche sont toujours identiques.

10:26 On est certain de la toucher, quelle que soit la vitesse horizontale.

10:29 Évidemment, je néglige les frottements, le temps de réaction du tireur, etc.

10:33 Mais vous voyez l'idée.

10:34 Bien, Galilée a donc compris que pour une bille qui chute de la table,

10:38 le mouvement vertical est une accélération uniforme,

10:41 z égale moins 1,5 de gt²,

10:43 et le mouvement horizontal est une translation uniforme, x égale v0 t.

10:47 Si on combine ces deux équations pour éliminer t,

10:51 on obtient l'équation de la trajectoire,

10:54 z égale moins 1,5 de g sur v0² fois x².

10:59 On voit que z est proportionnel au carré de x.

11:02 Mathématiquement, c'est l'équation d'une parabole.

11:05 Et Galilée est le premier à réaliser ça.

11:07 Les trajectoires balistiques sont des paraboles,

11:10 pas des segments connectés par des cercles comme le pensait Tartaglia.

11:14 Et notez bien que Galilée ne découvre pas la parabole.

11:17 Mathématiquement, elle était déjà parfaitement connue.

11:20 Euclide avait déjà écrit sur le sujet presque 2000 ans plus tôt.

11:23 Tout le monde connaissait la parabole, si j'ose dire.

11:26 Mais à l'époque, l'idée de mathématiser la physique

11:29 n'était pas encore vraiment passée dans les esprits,

11:31 et donc faire ce lien entre la trajectoire balistique et la parabole,

11:35 ce n'était pas si évident.

11:37 Je vous passe les détails, mais ça reste vrai,

11:39 même si on tire avec un certain angle initial alpha.

11:43 Galilée meurt finalement en 1642, l'année de la naissance d'Isaac Newton.

11:48 Mais avec ce que je vous ai raconté,

11:49 vous voyez que plusieurs décennies avant les travaux de Newton,

11:52 on avait déjà une bonne compréhension

11:54 de la façon dont fonctionnait la gravité à la surface de la Terre.

11:57 Bah oui, il fallait bien faire marcher les canons.

12:05 Toujours avant Newton,

12:06 en parallèle des travaux des savants italiens sur la balistique,

12:09 les astronomes faisaient également pas mal de progrès.

12:12 Copernic, Tycho Brahe et surtout Kepler

12:15 introduisent aussi les mathématiques dans la physique du mouvement,

12:18 cette fois pour comprendre celui des astres.

12:21 Entre 1609 et 1618, Kepler publie notamment ces trois lois de l'astronomie,

12:27 en particulier la première,

12:28 qui affirme que les trajectoires des planètes sont des ellipses,

12:31 et la troisième, qui établit un lien quantitatif

12:34 entre la période de révolution et la taille de l'ellipse.

12:37 Donc Newton, en matière de gravité, n'arrive pas sur un terrain vierge.

12:41 D'ailleurs, il le rappellera lui-même de façon fameuse

12:43 en affirmant que s'il avait pu voir si loin,

12:46 c'est parce qu'il se tenait sur les épaules des géants.

12:49 Et l'intuition géniale qui permit à Newton de le faire,

12:52 ce n'est donc pas une histoire de pomme,

12:54 mais à nouveau une affaire de canon.

12:56 Newton réalise une expérience de pensée,

12:59 une expérience qu'on ne peut pas faire en vrai,

13:01 mais dont on peut imaginer le déroulement.

13:03 Et pour bien la comprendre,

13:04 j'ai aussi créé une petite simulation interactive

13:06 qu'on va utiliser pour suivre le raisonnement de Newton.

13:09 Toujours pareil, si vous voulez expérimenter vous-même la simulation,

13:11 et sur mon site, le lien est en description.

13:15 Donc on a ici un canon,

13:16 dont on peut régler l'angle et la vitesse de projection.

13:19 Alors à l'époque de Newton,

13:21 les meilleurs canons devaient probablement tirer à environ 150 mètres par seconde.

13:25 Si on règle sur un angle de 45 degrés, l'optimum donc,

13:28 ça nous fait une portée théorique maximale d'un peu plus de 2 kilomètres.

13:33 Avec une vitesse de 300 mètres par seconde,

13:36 on trouve une portée d'environ 10 kilomètres.

13:38 Alors on a juste doublé la vitesse,

13:40 mais la portée augmente comme le carré de la vitesse.

13:42 Ça se voit dans l'équation de la parabole.

13:44 Alors 300 mètres par seconde et une dizaine de kilomètres,

13:47 c'est un canon qui n'existait pas au temps de Newton.

13:50 C'est en gros les caractéristiques de ce que les Allemands appelaient la grosse Bertha,

13:54 une pièce d'artillerie utilisée pendant la Première Guerre mondiale.

13:57 Mais on va y aller plus fort.

13:59 Si on monte à 1200 mètres par seconde,

14:02 on peut tirer en théorie à 150 kilomètres.

14:06 Alors 150 kilomètres, c'est à peu près la distance à laquelle les Allemands bombardaient Paris

14:11 avec cette fois ce canon gigantesque qui a semé la terreur chez les habitants de la ville,

14:15 un canon que les Français avaient surnommé la grosse Bertha.

14:19 Bah oui, parce qu'ils avaient confondu avec les canons plus petits dont on a parlé avant.

14:23 Ce canon était plutôt appelé par les Allemands le Pariser Kanonen, le canon parisien,

14:27 et notons d'ailleurs qu'ils avaient réalisé que sa portée était un peu meilleure

14:31 si on tirait avec un angle de 50 ou 55 degrés plutôt que l'optimum théorique de 45 degrés.

14:36 Et la raison, c'est que le projectile voyageait alors dans des couches de l'atmosphère moins denses,

14:40 donc avec moins de frottement.

14:42 Mais revenons un peu au XVIIe siècle.

14:44 Alors Newton ne connaissait évidemment pas la grosse Bertha,

14:47 mais il avait déjà eu l'idée d'imaginer un canon super puissant

14:51 et de réfléchir à ce qui se passerait avec sa trajectoire.

14:54 Et pour ça, il imaginait de placer le canon à l'horizontale

14:57 mais de tirer depuis une très haute montagne.

15:00 Alors allons-y disons à 200 km d'altitude.

15:03 Si on tire à l'horizontale à 1200 mètres par seconde,

15:06 on retrouve notre bonne vieille parabole qu'observait Galilée.

15:10 Mais si on tire vraiment plus fort, disons 4000 mètres par seconde,

15:14 là je vais devoir dézoomer un peu et vous voyez qu'il y a un nouvel élément qui rentre en compte,

15:18 la courbure de la Terre.

15:20 Si on tire suffisamment fort,

15:22 le projectile ira plus loin que ce qu'il aurait été sur un terrain plat

15:26 du fait de la courbure.

15:28 Et si on continue à tirer vraiment plus fort, disons 7000 mètres par seconde,

15:32 on commence à suivre la courbure de la Terre et à retomber beaucoup plus loin.

15:36 Et là, Newton réalise qu'avec la bonne vitesse,

15:40 on peut carrément faire le tour de la Terre.

15:43 Et pour ça, comme on voit dans ma simulation, il faut aller à environ 7800 mètres par seconde.

15:47 Et là, notre boulet de canon continuera indéfiniment sa trajectoire autour de la Terre.

15:53 Mathématiquement, on peut réconcilier cela avec la découverte de Galilée.

15:57 Quand on tire et que la trajectoire suit une parabole,

16:00 elle a initialement un certain rayon de courbure qui vaut V0² sur G.

16:04 Et si on tire suffisamment fort que V0 augmente,

16:08 le rayon de courbure de la trajectoire initiale devient égal au rayon de la Terre.

16:12 Et donc le boulet n'atteint jamais le sol.

16:16 A cette vitesse, on a transformé notre boulet de canon

16:20 A cette vitesse, on a transformé notre boulet de canon

16:23 en un nouveau satellite de la Terre, comme la Lune finalement.

16:27 Et grâce à cette expérience de pensée complètement dingue pour l'époque,

16:31 Newton comprend que les orbites des astres et les trajectoires balistiques

16:35 ne sont que deux facettes du même phénomène.

16:38 Et c'est difficile de se représenter le saut conceptuel que ça représente.

16:42 L'astronomie et la balistique étaient deux disciplines complètement séparées,

16:45 ce n'est pas du tout les mêmes échelles.

16:48 Newton comprend que c'est en fait la même chose.

16:51 Que la Lune est un boulet de canon, c'est pareil.

16:54 Il y a une citation du poète Paul Valéry qui résume bien ça.

16:57 Il disait, il fallait être Newton pour s'apercevoir que la Lune tombe

17:01 alors que tout le monde voit bien que ce n'est pas le cas.

17:04 Et c'est exactement ça, Newton comprend que la Lune tombe comme un boulet de canon

17:08 mais qu'il subirait la gravité terrestre en avançant en même temps.

17:11 Alors ça peut paraître un peu bizarre pour la Lune qui est déjà en mouvement,

17:15 qui est déjà lancée depuis un canon, mais on peut le comprendre comme ceci.

17:18 La Lune a une certaine vitesse et donc en permanence,

17:21 elle avance un peu tout droit sous l'effet de cette vitesse.

17:24 Mais comme la gravité terrestre la fait également tomber vers elle,

17:27 elle se déplace aussi en direction du centre de la Terre.

17:30 Et donc, au final, reste en permanence sur son orbite quasiment circulaire.

17:35 Comme le boulet de Newton, elle tombe sans cesse, sans jamais se rapprocher du sol.

17:41 Unifiée l'astronomie et la chute des corps, la Lune et les boulets de canon,

17:44 c'est ça la première idée de Newton.

17:46 Sauf que si vous regardez les chiffres, vous verrez que ça ne colle pas.

17:49 On a trouvé une vitesse d'environ 8000 mètres par seconde

17:52 pour satelliser notre boulet autour de la Terre.

17:54 Or la Lune va beaucoup moins vite que ça.

17:56 Elle est à 384 000 kilomètres de nous,

17:59 ça fait environ 2,4 millions de kilomètres de circonférence pour sa trajectoire,

18:02 parcourue en 27 jours.

18:04 Faites le calcul, on est autour de 1 km par seconde.

18:07 Donc 8 fois moins que ce qu'on a trouvé avec le canon.

18:09 La raison de cette différence, c'est évidemment qu'au niveau de la Lune,

18:12 l'attraction de la gravité exercée par la Terre est plus faible qu'à la surface.

18:16 Donc la vitesse que doit avoir la Lune pour rester sur sa trajectoire

18:19 est plus faible que pour notre boulet.

18:21 D'ailleurs, c'est ce qu'avait compris Kepler avec sa fameuse troisième loi.

18:24 Si on se place dans le cas d'une orbite circulaire,

18:27 la loi nous dit que le carré de la période de révolution

18:30 est proportionnel au cube du rayon.

18:32 Une autre façon d'écrire cette loi,

18:34 c'est de dire que la période, c'est la circonférence divisée par la vitesse,

18:37 donc 2πr divisé par v,

18:40 et en injectant ça dans la loi de Kepler,

18:43 on trouve que le carré de la vitesse est inversement proportionnel au rayon de l'orbite.

18:47 La Lune est à 384 000 km,

18:50 donc sa distance au centre de la Terre est une soixantaine de fois plus élevée que la nôtre,

18:54 donc ça fait une vitesse 8 fois plus faible.

18:56 Ça colle avec nos chiffres.

18:57 La Lune va à seulement 1 km par seconde pour se maintenir sur sa trajectoire.

19:01 Alors, comment réconcilier la vitesse de satellisation dans l'expérience du canon

19:06 avec la vitesse de la Lune qui suit la troisième loi de Kepler ?

19:09 Souvenez-vous qu'on a écrit la satellisation comme une égalité

19:12 entre le rayon de courbure induit par la chute initiale

19:15 et le rayon de l'orbite, v² sur g égale r.

19:20 Si maintenant on injecte le fait que le carré de la vitesse est en 1 sur r,

19:24 c'est la troisième loi de Kepler,

19:26 on peut réarranger tout ça et trouver que g,

19:28 l'accélération que nous fait subir la gravité,

19:30 est en 1 sur r².

19:32 On voit que pour que la vitesse de satellisation diminue avec la distance comme il faut,

19:37 alors il faut que l'accélération de la gravité soit en 1 sur r².

19:40 C'est le seul moyen d'être cohérent avec la troisième loi de Kepler.

19:44 Et avec cette idée, on retrouve bien la célèbre découverte de la loi de Newton

19:48 qui dit que l'attraction de la gravité décroît comme le carré de la distance,

19:52 la fameuse formule qu'on apprend au lycée.

19:54 Une formule qui est valide que l'on parle de pommes qui tombent,

19:57 des boulets de canon qui volent ou bien des astres qui orbitent.

20:00 Le génie de Newton, ce n'est pas d'avoir compris la chute des pommes,

20:04 c'est d'avoir formulé une loi de la gravitation dite universelle

20:07 qui s'applique partout et à toutes les situations.

20:10 Et même si on n'est pas dans la tête de Newton,

20:12 on peut volontiers imaginer que la clé de cette compréhension,

20:15 c'était l'expérience de pensée du canon.

20:23 Bien, maintenant on peut retourner sur notre petite simulation

20:26 et jouer un peu en variant les paramètres.

20:28 Si on prend un peu d'altitude et qu'on pousse au-delà des 8000 mètres par seconde,

20:31 on va vite remarquer une chose,

20:32 c'est que les trajectoires ne sont plus circulaires.

20:38 Même constatation si on commence à mettre un certain angle initial.

20:41 Ce qu'on voit là, ce sont des ellipses.

20:46 C'est ce qu'avait compris Kepler avec sa première loi.

20:49 Les orbites des astres ne sont pas seulement des cercles,

20:52 ce sont plus généralement des ellipses.

20:54 Le cercle n'est qu'un cas particulier d'ellipse.

20:57 Pour quantifier à quel point une orbite est elliptique,

21:00 on utilise une quantité qu'on appelle l'eccentricité.

21:03 Un cercle a une eccentricité de 0

21:05 et plus l'eccentricité se rapproche de 1,

21:07 plus l'ellipse est aplatie.

21:09 Et en principe on peut trouver de tout entre ces deux extrêmes.

21:13 Mars a une eccentricité d'environ 0,1

21:15 et Mercure de 0,2.

21:17 Alors c'est pas énorme,

21:18 mais ça avait suffi à Kepler pour comprendre

21:20 que l'ellipse était le cas général.

21:22 Depuis, on ne peut plus imaginer

21:24 que l'ellipse était le cas général.

21:26 Depuis, on a aussi découvert Pluton

21:28 et son eccentricité de 0,25.

21:30 Un cas extrême d'eccentricité,

21:32 ce sont les comètes périodiques,

21:34 comme la comète de Halley,

21:36 qui revient tous les 76 ans

21:38 et dont l'eccentricité est de 0,97,

21:40 donc très proche de 1.

21:42 Sur ma simulation, plus je tire fort,

21:44 plus l'orbite va être excentrique.

21:48 Et si je me rapproche d'environ 11 km par seconde,

21:51 je vais constater une chose.

21:53 Ce canon ne va jamais revenir.

21:55 Quand l'eccentricité dépasse 1,

21:57 si on peut dire,

21:58 on n'a plus une ellipse,

21:59 on a une hyperbole

22:00 et mon projectile s'en va à l'infini.

22:03 La vitesse limite à laquelle ça se produit,

22:05 c'est ce qu'on appelle la vitesse de libération.

22:07 Et si on fait le calcul,

22:08 on trouve que cette vitesse de libération,

22:10 c'est racine de 2 fois la vitesse de satellisation

22:12 qu'on avait trouvée tout à l'heure.

22:14 C'est donc environ 11 km par seconde

22:16 à la surface de la Terre.

22:17 Et c'est typiquement la vitesse

22:18 qu'on s'efforce d'atteindre avec une fusée

22:20 pour espérer s'arracher de la traction terrestre.

22:23 Une chose étonnante que vous remarquerez

22:25 si vous jouez avec la simulation,

22:27 c'est que ça n'est pas facile en général

22:29 d'obtenir une trajectoire bien circulaire,

22:31 comme celle de la Lune par exemple.

22:32 Il faut vraiment prendre un angle de zéro

22:34 et parfaitement choisir la vitesse.

22:36 Si vous êtes au-dessus ou en dessous

22:38 de la bonne vitesse,

22:39 vous aurez une ellipse

22:40 où vous cracherez sur la Terre.

22:42 Obtenir une trajectoire circulaire,

22:44 c'est assez spécifique.

22:45 Ce qui est bizarre,

22:46 c'est pourquoi les planètes et la Lune

22:48 ont toutes, dans leur majorité,

22:50 des trajectoires bien circulaires

22:53 avec des excentricités faibles, très faibles.

22:55 Si le cercle est un cas si rare,

22:57 si particulier,

22:58 pourquoi est-ce qu'on n'a pas

22:59 des ellipses partout dans le système solaire ?

23:01 La trajectoire circulaire,

23:02 ça semble presque un petit miracle,

23:04 c'est bizarre.

23:05 Pour le comprendre,

23:06 il faut s'intéresser aux conditions

23:08 dans lesquelles ces orbites se sont formées

23:10 et à la façon dont elles ont évolué.

23:12 Il y a en effet en pratique

23:13 un phénomène qu'on appelle parfois

23:15 la circularisation des orbites.

23:17 Ici, avec ma simulation,

23:18 on se place dans un cas très idéal,

23:19 un des projectiles ponctuels

23:21 qui sont seuls sur leur orbite,

23:22 mais la réalité est un peu différente.

23:24 D'une part,

23:25 quand le système solaire s'est formé,

23:26 il y avait des tas de débris en rotation

23:28 qui ont provoqué des petites collisions

23:30 en grand nombre

23:31 qu'on peut assimiler

23:32 à une sorte de force de frottement.

23:34 Ensuite, on sait aussi

23:35 que les corps célestes

23:36 comme les planètes ou la Lune

23:38 ont une certaine taille,

23:39 sont faits de roches ou de fluides

23:41 qui ont à grande échelle

23:42 une certaine viscosité.

23:44 Cette viscosité conduit aussi

23:45 à une forme de perte d'énergie

23:47 qu'on appelle de la dissipation.

23:49 Les frottements et la dissipation,

23:51 ont pour effet

23:52 de faire perdre de l'énergie

23:53 à notre système,

23:54 ce qui favorise en priorité

23:56 la diminution de l'excentricité.

23:58 On peut l'expérimenter

23:59 sur ma petite simulation.

24:01 Partons d'une trajectoire elliptique

24:02 avec une certaine excentricité

24:04 et ce qu'on peut faire

24:05 c'est rajouter un peu de friction

24:07 temporairement

24:08 en imaginant une certaine répartition

24:09 de débris autour du Soleil.

24:11 On peut alors observer l'effet

24:13 sur la taille et la forme de l'ellipse

24:15 et constater le phénomène

24:16 de circularisation.

24:18 Ici, j'affiche en temps réel

24:20 l'excentricité de la trajectoire

24:22 et on voit qu'elle diminue

24:23 au cours du temps,

24:24 notamment quand le corps

24:25 passe au périhélie,

24:26 le point le plus proche du Soleil

24:28 et qui est celui

24:29 où la vitesse est la plus élevée.

24:31 Ce phénomène, ça explique donc

24:32 que la plupart des orbites

24:33 dans le système solaire

24:34 est peu à peu convergée

24:36 vers quelque chose

24:37 de très circulaire,

24:38 des excentricités très proches de zéro

24:40 bien que le cercle

24:41 ne soit finalement

24:42 qu'un cas très particulier

24:43 d'ellipse.

24:46 Notez qu'une des raisons

24:47 pour lesquelles quelques planètes

24:49 comme Mars ou Mercure

24:51 ont malgré tout

24:52 conservé une orbite

24:53 légèrement excentrique,

24:54 c'est qu'en pratique

24:55 elles ne sont pas seules

24:56 autour du Soleil.

24:57 Dans une faible mesure,

24:58 toutes les planètes

24:59 s'influencent les unes les autres.

25:01 Et donc pour bien comprendre

25:03 leur trajectoire,

25:04 il faut considérer

25:05 des interactions gravitationnelles

25:06 avec plusieurs corps.

25:08 Mais ça, c'est plus compliqué

25:10 et ce sera pour le prochain épisode.

25:12 Merci d'avoir suivi la vidéo,

25:13 n'oubliez pas de vous abonner

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25:19 Les liens sont en description.

25:20 Je vous mets également

25:21 la page web

25:22 sur laquelle j'ai hébergé

25:23 toutes les petites simulations

25:24 que je vous ai montrées.

25:25 Je suis curieux de savoir

25:26 si ça vous intéresse

25:27 de pouvoir jouer vous-même

25:28 avec ces expériences numériques

25:29 pour mieux comprendre

25:30 ce qui se passe.

25:31 N'hésitez pas à me dire

25:32 ce que vous en pensez

25:33 et en attendant,

25:34 moi je vous dis

25:35 à très vite pour une nouvelle vidéo.

25:36 A bientôt !

Du canon à la Lune : la découverte de la gravité

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